Showing Page:
1/3
Алг. и анал. геом. (ЭОУС) Вариант 20
1
Задача 1 Коллинеарны ли векторы
1
c
и
2
c
, построенные по векторам
a
и
b
?
.2,36,5;3;7,4;2;1
21
abcbacba
====
Рассм.
;
3
7
5
4
2
1
2
5
3
7
;
9
21
15
5
3
7
3
4
2
1
6
21
=
=
=
= cc
рассм.
, след.. векторы
1
c
и
2
c
коллинеарны.
Задача 2 Найти косинус угла между векторами
AB
и
AC
.
( ) ( ) ( )
.1;1;8,4;1;2,0;1;1 CBA
Рассм. векторы
4;0;3=AB
и
1;0;7 =AC
;
,
cos= ACABACAB
откуда
ACAB
ACAB
=
cos
;
вычислим
( ) ( )
2514073 =++= ACAB
,
( )
5403
22
2
=++=AB
;
( )
25107
2
22
=++=AC
;
2
1
255
25
cos =
=
.
Задача 3 Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах
a
и
b
.
6
,,1,4,23,10
=
===+=
qpqpqpbqpa
.
baS
парал
=
; рассм.
( ) ( )
=+=+= qqqppqppqpqpba
2203302310
;230223030 qpqp
==
( )
46
2
1
1423,sin2323 ====
qpqpqpba
;
.).(46 едквS
парал
=
.
Задача 4 Компланарны ли векторы
cba
,,
?
1;1;1,5;2;9,2;1;4 === cba
.
( ) ( )
0.,, = cbaкомпланcba
;
рассм.
( ) ( )
0
77
33
2
714
36
1
100
5714
236
111
529
214
===
=
= cba
, след. векторы
cba
,,
компланарны.
Задача 5 Найти расстояние от точки
0
M
до плоскости, проходящей через точки
321
,, MMM
:
( ) ( ) ( ) ( )
7;8;10,3;6;3,3;0;6,2;5;1
0321
MMMM
.
Составим уравнение плоскости
, проходящей через точки
321
,, MMM
:
рассм. векторы
==
31213121
;5;11;4,5;5;5 MMMMMMMM
;
выберем норм. вектор плоскости
75;45;30
114
55
54
55
511
55
5114
555
3121
=
+
=
== kji
kji
MMMMN
;
рассм.
5;3;2 =
n
; составим уравнение плоскости
:
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
,03532;0523521 ==++ zyxzyx
;
Showing Page:
2/3
Алг. и анал. геом. (ЭОУС) Вариант 20
2
определим теперь искомое расстояние
d
от точки
0
M
до плоскости
по формуле:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
..
38
36
532
37583102
22
2
222
000
едлин
CBA
DCzByAx
d =
++
=
++
+++
=
.
Задача 6 Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
A
перпендикулярно
вектору
BC
:
( ) ( ) ( )
1;6;9,1;2;7,6;0;1 CBA
.
Рассм. вектор
= BCBC ;0;4;2
; рассм. произв. т.
( )
zyxM ,,
и рассм. вектор
0;6;;1 =+= BCAMBCAMzyxAM
, т.е.
( ) ( ) ( ) ( )
;012;0242;006421 ==++=+++ yxyxzyx
.
Задача 7 Найти угол между плоскостями
( ) ( )
,012,01722 ==++ yxиzyx
.
Рассм. норм. векторы
0;2;1,2;2;1 ==
NN
; искомый угол
между плоскостями
( )
и
( )
равен углу между их норм. векторами
NиN
; определим угол
из условия:
cos= NNNN
;
вычислим
( ) ( ) ( ) ( )
5021;3221;5022211
2
2
22
2
2
=++==++==++=
NNNN
;
==
=
=
3
5
arccos;
3
5
53
5
cos
NN
NN
.
Задача 8 Написать канонические уравнения прямой, заданной как линия пересечения
плоскостей
( ) ( )
и
.
( )
3;1;2,0232:. ==+
Nzyxпл
;
( )
1;1;2,062:. ==++
Nzyxпл
;
NllNll ,
;
выберем напр. вектор
4;8;2
12
12
12
32
11
31
112
312 =
+
=
== kji
kji
NNl
;
возьмём
2;4;1
2
1
1
=
= ll
;
выберем произв. т.
( )
lzyxA
AAA
;;
; положим
0=
A
z
, а координаты
AA
yx ,
определим из системы
уравнений:
( )
0;4;1.
;4
,1
;062
,022
=
=
=+
=+
Aт
y
x
yx
yx
A
A
AA
AA
;
запишем канонические ур-я прямой
( )
l
:
( )
2
0
4
4
1
1
=
=
zyx
.
Задача 9 Найти точку пересечения прямой
( )
l
и плоскости
( )
:
( ) ( )
t
zyx
l =
+
=
=
0
5
5
8
8
1
:
;
( )
01137: =+++ zyx
;
запишем параметрические ур-я прямой
( )
=
+=
+=
;5
,85
,18
:
z
ty
tx
l
определим координаты т.
A
пересечения пр.
( )
l
и пл.
( )
:
( ) ( ) ( )
27
53
;05327;0115385718 ==+=+++++ tttt
;
Showing Page:
3/3
Алг. и анал. геом. (ЭОУС) Вариант 20
3
( )
==+==+= 5;
27
49
;
27
451
;5;
27
49
8
27
53
5;
27
451
1
27
53
8 Azyx
AAA
.
Задача 10 Найти точку
1
M
, симметричную точке
( )
3;2;1M
относительно
плоскости
( )
0110102: =++ zyx
.
рассм. прямую
( )
l
, проходящую через точку
( )
3;2;1M
перпендикулярно плоскости
:
выберем напр. вектор
5;5;1
2
1
==
Nl
; запишем канонические ур-я прямой
( )
l
:
( ) ( )
+=
+=
+=
=
=
=
;35
,25
,1
:..
5
3
5
2
1
1
tz
ty
tx
lпряурпараметрt
zyx
определим координаты т.
A
пересечения пр.
( )
l
и пл.
( )
:
( ) ( ) ( )
2
1
;051102;013510251012 ==+=+++++ ttttt
;
;
2
1
3
2
1
5;
2
1
2
2
1
5;
2
1
1
2
1
=+
==+
==+=
AAA
zyx
2
1
;
2
1
;
2
1
A
;
определим координаты искомой точки
1
M
из условия, что т.
A
есть середина отрезка
1
MM
:
0;
2
1
2
1
;
2
1
11
=
+
=
+
=
M
MMM
A
x
xxx
x
;
3;
2
2
2
1
;
2
1
11
=
+
=
+
=
M
MMM
A
y
yyy
y
;
2;
2
3
2
1
;
2
1
11
=
+
=
+
=
M
MMM
A
z
zzz
z
;
( )
2;3;0
1
M
.

Unformatted Attachment Preview

Алг. и анал. геом. (ЭОУС) 1     Задача 1 Коллинеарны ли векторы c1 и c2 , построенные по векторам a и b ?         a = 1; − 2 ; 4  , b = 7 ; 3 ; 5 , c1 = 6a − 3b , c2 = b − 2a .  1   7   − 15  7  1   5                Рассм. c1 = 6   − 2  − 3   3  =  − 21 ; c2 =  3  − 2   − 2  =  7  ;  4   5  9   5  4   − 3               5 7 −3 1 = = = − , след.. векторы c1 и c2 коллинеарны. рассм. − 15 − 21 9 3 Задача 2 Найти косинус угла между векторами AB и AC . A (1; −1; 0) , B (− 2; −1; 4) , C (8; −1; −1) . Рассм. векторы Вариант 20 AB = − 3 ; 0 ; 4 и AC = 7 ; 0 ; − 1 ; , AB  AC = AB  AC  cos  откуда cos  = AB  AC AB  AC ; вычислим AB  AC = (− 3)  7 + 0 + 4  (− 1) = −25 , AB = (− 3)2 + 02 + 42  cos  = = 5; AC = 72 + 02 + (− 1) = 5 2 ; 2 − 25 1 . =− 55 2 2   Задача 3 Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b .              a = 10 p + q , b = 3 p − 2q , p = 4 , q = 1 ,  p, q  = .   6                 Sпарал = a  b ; рассм. a  b = (10 p + q ) (3 p − 2q ) = 30 p  p + 3q  p − 20 p  q − 2q  q =     = 30  0 − 23 p  q − 2  0 = −23 p  q ;         1  a  b = − 23 p  q = 23  p  q  sin ( p, q ) = 23  4 1  = 46 ; S парал = 46 (кв. ед.) . 2    Задача 4 Компланарны ли векторы a , b , c ?    a = 4 ;1; 2  , b = 9 ; 2 ; 5 , c = 1;1; − 1 .       a , b , c − комплан.  a  b  c = 0 ; ( ) ( ) 4 1 2 6 3 2 6 3 3 3       рассм. a  b  c = 9 2 5 = 14 7 5 = (− 1)  = (− 2)  = 0 , след. векторы a , b , c 14 7 7 7 1 1 −1 0 0 −1 компланарны. Задача 5 Найти расстояние от точки M 0 до плоскости, проходящей через точки M 1 , M 2 , M 3 : M1 (− 1; − 5 ; 2) , M 2 (− 6 ; 0 ; − 3) , M 3 (3; 6 ; − 3) , M 0 (− 10 ; − 8 ; − 7) . Составим уравнение плоскости  , проходящей через точки M 1 , M 2 , M 3 : рассм. векторы M1M 2 = − 5; 5; − 5  , M1M 3 = 4 ;11; − 5  ; M1M 2  M1M 3 ⊥  ; выберем норм. вектор плоскости     i j k  5 −5  −5 −5  −5 5 N  = M 1M 2  M 1M 3 = − 5 5 − 5 = i  − j +k  = 30 ; − 45 ; − 75 ; 11 − 5 4 −5 4 11 4 11 − 5  рассм. n =  2 ; − 3; − 5  ; составим уравнение плоскости  : (x − (−1)) 2 + ( y − (− 5)) (− 3) + (z − 2) (− 5) = 0 ; 2 x − 3 y − 5z − 3 = 0 , ( ) ; Алг. и анал. геом. (ЭОУС) Вариант 20 2 определим теперь искомое расстояние d от точки M 0 до плоскости d= Ax0 + By 0 + Cz0 + D A2 + B 2 + C 2 = 2  (− 10) − 3  (− 8) − 5  (− 7 ) − 3 2 2 + (− 3) + (− 5) 2 2 =  по формуле: 36 ( лин. ед.) . 38 Задача 6 Написать уравнение плоскости, проходящей через точку A перпендикулярно вектору BC : A (1; 0 ; − 6) , B (− 7 ; 2 ;1) , C (− 9 ; 6 ;1) . Рассм. вектор BC = − 2 ; 4 ; 0; BC ⊥  ; рассм. произв. т. M (x , y , z )   и рассм. вектор AM = x − 1; y ; z + 6  ; AM ⊥ BC  AM  BC = 0 , т.е. (x −1) (− 2) + y  4 + (z + 6) 0 = 0 ; − 2x + 4 y + 2 = 0; x − 2 y −1 = 0; ( ). Задача 7 Найти угол между плоскостями x − 2 y + 2z + 17 = 0 , ( ) и x − 2 y −1 = 0 , ( ) . Рассм. норм. векторы N = 1; − 2 ; 2 , N  = 1; − 2 ; 0; искомый угол  между плоскостями ( ) и ( ) равен углу между их норм. векторами N и N  ; определим угол  из условия: N  N  = N  N   cos  ; вычислим N  N  = 11 + (− 2)  (− 2) + 2  0 = 5 ; N = 12 + (− 2) + 22 = 3 ; N  = 12 + (− 2) + 02 = 5 ; 2  cos  = N  N  N  N  = 5 3 5 = 2  5 5 . ;   = arccos   3 3   Задача 8 Написать канонические уравнения прямой, заданной как линия пересечения плоскостей ( ) и ( ) . пл. ( ): 2 x + y − 3z − 2 = 0 , N = 2 ;1; − 3 ; пл. ( ): 2 x − y + z + 6 = 0 , N  = 2 ; − 1;1 ; l    l ⊥ N , l    l ⊥ N  ;    i j k   1 −3  2 −3  2 1 − j +k  = − 2 ; − 8 ; − 4 ; выберем напр. вектор l = N  N  = 2 1 − 3 = i  −1 1 2 1 2 −1 2 −1 1   1   2 выберем произв. т. A (xA ; y A ; z A ) l ; положим z A = 0 , а координаты x A , y A определим из системы возьмём l1 =  −   l = 1; 4 ; 2 ; 2 x A 2 x A уравнений:  + yA − yA − 2 = 0, x  A + 6 = 0;  yA запишем канонические ур-я прямой (l ) : = −1, = 4;  т. A ( − 1 ; 4 ; 0 ) ; x − (− 1) y − 4 z − 0 = = 1 4 2 Задача 9 Найти точку пересечения прямой (l ) и плоскости ( ) : (l ) : x −1 y − 8 z + 5 = = 8 −5 0 (= t ) ; ( ): x + 7 y + 3z + 11 = 0 ;  x = 8t + 1,  запишем параметрические ур-я прямой (l ) :  y = − 5t + 8 , z = − 5;  определим координаты т. A пересечения пр. (l ) и пл. ( ) : (8t + 1) + 7  (− 5t + 8) + 3  (− 5) + 11 = 0 ; − 27t + 53 = 0 ; t= 53 ; 27 . Алг. и анал. геом. (ЭОУС) 3 Вариант 20 53 451 53 49 49  451  +1 = ; y A = (− 5)  + 8 = − ; z A = −5 ;  A  ;− ; − 5 . 27 27 27 27 27  27  Задача 10 Найти точку M1 , симметричную точке M (1; 2 ; 3) относительно плоскости ( ) : 2 x + 10 y + 10z −1 = 0 . рассм. прямую (l ) , проходящую через точку M (1; 2 ; 3) перпендикулярно плоскости  :  1 выберем напр. вектор l = N = 1; 5 ; 5; запишем канонические ур-я прямой (l ) : 2  x = t + 1, x −1 y − 2 z − 3 (= t )  параметр. ур − я пр. (l ) :  y = 5t + 2 , = = 1 5 5  z = 5t + 3;  определим координаты т. A пересечения пр. (l ) и пл. ( ) : 1 2  (t + 1) + 10  (5t + 2) + 10  (5t + 3) − 1 = 0 ; 102t + 51 = 0 ; t=− ; 2 1 1 1 1 1 1  1  1 1  x A = − + 1 = ; y A = 5   −  + 2 = − ; z A = 5   −  + 3 = ;  A ; − ;  ; 2 2 2 2 2 2  2  2 2 определим координаты искомой точки M1 из условия, что т. A есть середина отрезка MM1 : xM + x M 1 1 1 + x M 1 xA = ; = ;  xM 1 = 0 ; 2 2 2 y M + y M1 1 2 + y M1 yA = ; − = ;  yM1 = −3 ; 2 2 2 z M + z M1 1 3 + z M1 zA = ; = ;  zM1 = −2 ; 2 2 2  M1 ( 0 ; − 3 ; − 2 ).  xA = 8  Name: Description: ...
User generated content is uploaded by users for the purposes of learning and should be used following Studypool's honor code & terms of service.
Studypool
4.7
Trustpilot
4.5
Sitejabber
4.4