Showing Page:
1/3
1
Вариант 12
Задача 1.Вычислить.
( )
V
dxdydzxyzshzx
2
;
===
===
.0,0,0
,1,1,2
:
zyx
zyx
V
Решение.
( ) ( )
( )
=
==

dz
xz
xyzzchx
dxdyxyzzshxdzdxdxdydzxyzzshx
V
1
0
1
0
2
2
0
2
0
1
0
1
0
22
( )
( )
32212
2
2
0
2
2
0
1
0
2
0
1
0
2
0
==
=
==
==
chch
x
chxdxxshxxz
x
xzxsh
dxdzxxzxchdx
Задача 2.Вычислить.
( )
+
V
dxdydzzy 9060
;
=+=
===
.0,
,1,0,
:
22
zyxz
xyxy
V
Решение.
Область
ограничена параболоидом вращения
22
yxz +=
и плоскостями
0,0,1, ==== zyxxy
( ) ( )
( )
=+=+=+

+
+
x
yx
x
yx
V
zyzdydxdzzydydxdxdydzzy
0
0
2
1
0
1
0 0 0
22
22
456090609060
( )( ) ( )
( ) ( )
231498445
5
3
23215
5
3
23215
363441533415
1
0
65
1
0
54
1
0
55544
0
5324422
1
0
0
422432
1
00
2222
1
0
=+=+=
++++=
=
++++=
=++++=+++=
xxdxxxdxxxxxx
yyxyxyyxdx
dyyyxxyyxdxdyyxyxydx
x
xx
.
Задача 3. Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
222222
851,854,3,5 yxzyxzxyxy ++=++=+==
.
Решение.
Первые два уравнения задают цилиндрические поверхности с образующими, параллельными оси
OZ
. Два последних уравнения определяют параллельные конические поверхности с вершинами
( )
4;0;0
и
( )
1;0;0
.
Showing Page:
2/3
2
Проекция тела на плоскость
XOY
ограничена двумя параболами
3,5
22
+== xyxy
.
Точки пересечения парабол находим:
( ) ( )
1;2.,1;2.
1;2435
2,12,1
222
===+=
BтАт
yxxxx
Следовательно, проекция тела на плоскость
XOY
определяется неравенствами
;22 x
35
22
+ xyx
Объем тела
G
равен:
( )
64
3
16
16
3
16
163
3
2
835333
3
2
2
3
2
2
22
2
2
3
5
2
2
3
5
854
851
2
2
3
5
2
2
3
5
854
851
2
2
2
2
22
22
2
2
2
2
22
22
=
+=
=++=
=
==
===
+
+
++
++
+
+
++
++

x
xdxxxydx
dydxzdydxdzdydxdxdydzV
x
x
x
x
yx
yx
x
x
x
x
yx
yx
G
Задача 4. Тело
V
задано ограничивающими его поверхностями,
- плотность. Найти массу
тела.
( )
( )
zyyyxyxzyx ==+=+=++
,0,0,4,4,9
2222222
.
Решение:
Введём цилиндрические координаты:
=
=
=
;
,sin
,cos
zz
y
x
Поверхности можно записать в цилиндрических координатах:
( )
( )
0sin,0sin,4,4,9
2222
===+
z
тогда тело
:
22
99
20
0
z
z=
,
Тело
V
симметрично относительно плоскости
XOY
,
значит, масса тела
равна
1
2MM =
,
где
1
M
- масса тела
1
V
:
2
90
20
0
z
;
z=
Масса тела
( ) ( )
( )
=
===
==

dzzdzddMM
dzddzdxdydzzyxM
GG
2
0
9
0
2
0
2
0
9
0
0
1
2
2
222
;sin;cos;;
( )
14418
4
1
2
9
99
2
0
42
2
0
3
2
0
2
==
===
dd
Showing Page:
3/3
3
Задача 5. Найти объём тела, заданного неравенствами
xy
x
yx
z
zyx
3
3
,
63
,6416
22
222
+
++
Решение:
Введём сферические координаты:
=
=
=
cos
,sinsin
,cossin
z
y
x
В сферических координатах неравенства принимают вид:
cos3sincos
3
1
63
1
84
cossin3sinsincossin
3
1
,
63
sin
cos
,6416
2
ctg
cos3sincos
3
1
6
5
3
2
6
5
3
2
2
3
2
0
3
1
3
0sin
0cos
tg
6
5
3
2
63
1
0
84
arcctg
Объем тела
G
равен:
( )
8
1
63
1
cos
1
cos
11
1
cos1
cos
1
cos
cos1
cos
sin
28
8
9
9
224
3
64512
63
1
cos0cos
63
cos
sinsin
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
8
4
3
63
1
0
6
5
3
2
8
4
2
63
1
0
6
5
3
2
2
=
+
=
+
=
+
==
==
==
=
=
=
====

arcctg
ctg
ctg
ctg
ctg
tg
tg
arcctg
dddddddxdydzV
arcctg
arcctg
GG

Unformatted Attachment Preview

Name: Description: ...
User generated content is uploaded by users for the purposes of learning and should be used following Studypool's honor code & terms of service.
Studypool
4.7
Trustpilot
4.5
Sitejabber
4.4