Showing Page:
1/4
1
Вариант 22
Задача 1.Вычислить.
( )
V
dxdydzxyzchzy
2
;
===
===
.0,0,0
,1,1,1
:
zyx
zyx
V
Решение.
( ) ( )
( )
=
==

dz
yz
xyzzshy
dydxxyzzchydzdydxdydzxyzchy
V
1
0
1
0
2
1
0
1
0
1
0
1
0
22
( )
( )
( )
111
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
===
==
shyshydychy
y
yzych
dydzyzyshdy
Задача 2.Вычислить.
( )
+
V
dxdydzzy 128
;
=+=
===
.0,23
,1,0,
:
22
zyxz
xyxy
V
Решение.
Область
ограничена эллиптическим параболоидом
22
23 yxz +=
и плоскостями
0,0,1, ==== zyxxy
( ) ( )
( )
=+=+=+

+
+
x
yx
x
yx
V
zyzdydxdzzydydxdxdydzzy
0
23
0
2
1
0
1
0 0
23
0
22
22
68128128
( )( )
( )
17
5
2
2
13
5
8
2
5
2
6
39
5
8
2
5
12
3982
5
12
1227262
5
12
1227262
121818278122
236942
1
0
665
1
0
554
1
0
55544
0
5324422
1
0
0
42222432
1
0
0
2222
1
0
=
++=
++=
=
++=
++++=
=
++++=
=+++++=
=+++=
xxx
dxxxxdxxxxxx
yyxyxyyxdx
dyyyxyxxyyxdx
dyyxyxydx
x
x
x
.
Showing Page:
2/4
2
Задача 3. Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
22222
321,325,7,43 yxzyxzyxy +=+==+=
.
Решение.
Первое уравнение задает цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси
OZ
.
Два последних уравнения определяют параллельные конические поверхности с вершинами
( )
5;0;0
и
( )
1;0;0
.
Проекция тела на плоскость
XOY
ограничена параболой
43
2
+= xy
и
прямой
7=y
.
Точки пересечения параболы и прямой находим:
( ) ( )
7;1.,7;1.
7;11743
2,12,1
22
BтАт
yxxx
====+
Следовательно, проекция тела на плоскость
XOY
определяется неравенствами
;11 x
743
2
+ yx
Объем тела
G
равен:
( )
( ) ( )
163443744
4
1
1
3
1
1
2
1
1
7
43
1
1
7
43
325
321
1
1
7
5
1
1
7
43
325
321
2
2
22
22
22
22
22
====
==
===
+
+
+
+
+
+
+

xxdxxydx
dydxzdydxdzdydxdxdydzV
x
x
yx
yx
xx
yx
yx
G
Задача 4. Тело
V
задано ограничивающими его поверхностями,
- плотность. Найти массу
тела.
( )
zyxyxzyx =+=+=++
,4,4,16
2222222
.
Решение:
Введём цилиндрические координаты:
=
=
=
;
,sin
,cos
zz
y
x
Поверхности можно записать в цилиндрических координатах:
( )
4,4,16
2222
==+
z
Тогда тело
:
22
1616
20
20
z
z=
,
Тело
V
симметрично относительно плоскости
XOY
,
значит, масса тела
равна
1
2MM =
,
где
1
M
- масса тела
1
V
:
2
160
20
20
z
;
z=
Showing Page:
3/4
3
Масса тела
( ) ( )
( )
=
===
==

d
z
zdzddMM
dzddzdxdydzzyxM
GG
2
0
16
0
2
2
0
2
0
16
0
2
0
1
2
2
2
222
;sin;cos;;
( )
564322
4
1
82162162
2
0
42
2
0
3
2
0
2
==
===
dd
Задача 5. Найти объём тела, заданного неравенствами
3
,
3
,
99
,14449
22
222
x
y
x
y
yx
z
zyx
+
++
Решение:
Введём сферические координаты:
=
=
=
cos
,sinsin
,cossin
z
y
x
В сферических координатах неравенства принимают вид:
cos
3
1
sin
cos
3
1
sin
99
1
127
cossin
3
1
sinsin
cossin
3
1
sinsin
,
99
sin
cos
,14449
2
ctg
Для области интегрирования по
рассмотрим два случая:
1)
26
26
26
22
3
1
3
1
0cos
tg
tg
2)
6
5
2
6
5
2
6
7
2
2
3
2
3
1
3
1
0cos
tg
tg
Showing Page:
4/4
4
Значит, имеем две области интегрирования:
1)
26
99
1
127
arcctg
2)
6
5
2
99
1
127
arcctg
Объем тела
G
равен сумме тел по двум областям интегрирования:
( ) ( )
10
1
99
1
cos
1
cos
11
1
cos1
cos
1
cos
cos1
cos
sin
277
2
277
2
277
3
1385
cos
99
1
cos
33
1385
cos
99
1
cos
3
3
cos
3
cos
sinsinsin
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
12
7
3
99
1
6
5
2
12
7
3
99
1
2
6
12
7
2
99
1
6
5
2
12
7
2
99
1
2
6
2
=
+
=
+
=
+
==
==
=+=
=
+
=
=
+
=
=+===

arcctg
ctg
ctg
ctg
ctg
tg
tg
arcctgarcctg
ddddddddddxdydzV
arcctgarcctg
arcctgarcctg
GG

Unformatted Attachment Preview

Вариант 22 Задача 1.Вычислить.  y 2 z  ch(xyz)dxdydz ; V x = 1, y = 1, z = 1, V:   x = 0, y = 0, z = 0.  Решение.  y 2 zsh (xyz) 1  dz = y ch(xyz)dxdydz =  dy  dz  y zch(xyz)dx =  dy    yz  V 0 0 0 0 0 0  1 1 2 1 1 1 2 1  ych( yz )  1  =  chy − 1dy = (shy − y ) 0 = sh1 − 1 =  dy  ysh( yz )dz =  dy y 0 0  0 0 0 1 1 1 1 Задача 2.Вычислить.  (8 y + 12 z )dxdydz ; V y = x, y = 0, x = 1, V:   z = 3x 2 + 2 y 2 , z = 0.  Решение. Область V ограничена эллиптическим параболоидом z = 3x 2 + 2 y 2 и плоскостями y = x, x = 1, y = 0, z = 0 1 x 3x2 +2 y 2 1 x 0 0 0 0 0 2  (8 y + 12 z )dxdydz =  dx  dy  (8 y + 12 z )dz =  dx  dy(8 yz + 6 z ) 0 V 1 x 0 1 0 x 0 1 0 ( )( 3x2 +2 y2 = ) = 2  dx  4 y + 9 x 2 + 6 y 2 3 x 2 + 2 y 2 dy = ( ) = 2  dx  12 x 2 y + 8 y 3 + 27 x 4 + 18 x 2 y 2 + 18 x 2 y 2 + 12 y 4 dy = x  2 2 12 5   4 4 2 3  = 2  dx  6 x y + 2 y + 27 x y + 12 x y + y  = .   5  0 0   1 1 12 5  12   4  4 4 5 5 = 2   6 x + 2 x + 27 x + 12 x + x dx = 2  8 x + 39 x 5 + x 5 dx = 5  5  0 0 1 39 6 2 6  8  8 13 2  = 2 x 5 + x + x  = 2 + +  = 17 6 5 0 5 5 2 5 1 Задача 3. Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями y = 3x 2 + 4, y = 7, z = 5 − 2 x 2 + 3 y 2 , z = 1 − 2 x 2 + 3 y 2 . Решение. Первое уравнение задает цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси OZ . Два последних уравнения определяют параллельные конические поверхности с вершинами (0;0;5) и (0;0;1) . Проекция тела на плоскость XOY ограничена параболой y = 3x 2 + 4 и прямой y = 7 . Точки пересечения параболы и прямой находим: 3x 2 + 4 = 7  x 2 = 1  x1, 2 = 1; y1, 2 = 7  т. А(− 1;7), т.B(1;7 ) Следовательно, проекция тела на плоскость XOY определяется неравенствами − 1  x  1; 3x 2 + 4  y  7 Объем тела G равен: 1 V =  dxdydz =  dx G 1 ( ) −1 1 ( 5− 2 x 2 + 3 y 2 7  dy 3x2 +4 1  dz =  dx 1− 2 x 2 + 3 y 2 ) −1 ( 7  2 dy z 1− x −5 = 4  dx y 3 x 2 + 4 = 4  7 − 3x 2 − 4 dx = 4 3x − x 3 −1 7 −1 5− 2 x 2 + 3 y 2 ) 1 −1 2 x +3 y 2 2 1 7  = 4 dx dy =   2  −1 3x +4 = 16 Задача 4. Тело V задано ограничивающими его поверхностями,  - плотность. Найти массу тела. x 2 + y 2 + z 2 = 16 , x 2 + y 2 = 4 , x 2 + y 2  4 ,  = z . ( ) Решение:  x =   cos  ,  =   sin  ,  z = z; Введём цилиндрические координаты:  y ( Поверхности можно записать в цилиндрических координатах:  2 + z 2 = 16 ,  2 = 4 ,  2  4 ) 0    2  Тогда тело V : 0    2 ,= z − 16 −  2  z  16 −  2 Тело V симметрично относительно плоскости XOY , значит, масса тела V равна M = 2M 1 , 0    2  где M 1 - масса тела V1 : 0    2 0  z  16 −  ; =z 2 2 Масса тела M =   ( x; y; z )dxdydz =   ( cos  ;  sin  ; z )dddz  G G 2 2 16−  2 0 0 0 M = 2 M 1 = 2  d  d   ( ) 2  zdz = 2  0   2 z   2 0  16−  2 2 0     d =    2 1   = 2   16 −   d = 2   16  −   d = 2   8 2 −   4  = 2 (32 − 4 ) = 56 4  0 0 0 2 2 2 3 Задача 5. Найти объём тела, заданного неравенствами 49  x 2 + y 2 + z 2  144 , x2 + y2 z− , 99 x x y ,y− 3 3 Решение:  x =  sin  cos  ,  =  sin  sin  ,  z =  cos  Введём сферические координаты:  y В сферических координатах неравенства принимают вид: 49   2  144 , 7    12  1   sin  ,   cos   − ctg  − 99 99     sin  sin   1  sin  cos   sin   1 cos    3 3   1 1 cos   sin  cos  sin   −   sin  sin   − 3 3   Для области интегрирования по  рассмотрим два случая:     cos   0 − 2    2   1            1) tg  2 6 2 3  6  1 tg  − −    2  3  6  3  cos   0 2   2   1 7  5         2) tg  6 2 6 3  2 5 1 tg  −    6  3  2 3 Значит, имеем две области интегрирования:  7    12   1  1) arcctg  −      99          6 2  7    12   1  2) arcctg  −      99        5  2 6 Объем тела G равен сумме тел по двум областям интегрирования:  12 5 6  1  arcctg −  99   7   2 V =  dxdydz =   2 sin ddd =  d G  G 6 2  sin d   d +  d 2  12  1  arcctg −  99   7 2  sin d   d = 3   56   3      ( ) ( )  − cos   +   − cos   =    1   1     arcctg − arcctg  −   3 3 6  2   7 7 99  99     1385     1385      1  1  =  cos arcctg  −   − cos    +   cos arcctg  −   − cos    =  3   3 3   3 99   99         277 277 = + = 277 2 2  =     12 12 2 sin 2  1 − cos 2  1 1 ctg 2 ctg 2 = = − 1  cos  = =  cos  =  2 2 2 2 2 cos  cos  cos  1 + tg  1 + ctg  1 + ctg 2   1  1 cos arcctg  −   = − 10 99     tg 2 = 4 Name: Description: ...
User generated content is uploaded by users for the purposes of learning and should be used following Studypool's honor code & terms of service.
Studypool
4.7
Trustpilot
4.5
Sitejabber
4.4