Showing Page:
1/4
Вариант 21
Задача 4. Найти массу плоской пластинки, ограниченной линиями,
( )
2 2 2 2
0, 4, 2 0, 0 ,x x y x y x x y= + = + =
если плотность
22
4 xy
= +
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
22
2 2 2
2 2 2
2
0 0 0 2cos 0 2cos
3
22
cos ;
:
sin ;
0;
2
.:
2cos 2;
. , 4 4 , ;
, , 4 4
2
2 2 2
2cos
3
D
xr
Введем полярн коорд
yr
обл D
r
плотн x y x y r r
m x y dxdy d r rdr d r rdr d r dr
r
rd

=
=


= + = =
= = = = =


= =




22
3 2 3
00
11
2 2 4cos cos
33
d


=



( )
( ) ( )
22
2 3 3
00
2 2 2 2
22
0 0 0 0
16 1 16 1
8cos cos 4 1 cos2 cos
3 3 3 3
4 1 4 1
4cos2 1 sin cos 4 cos2 1 sin cos
3 3 3 3
dd
d d d d

= + = + + =

= + = + =



( )
( )
(
3
4 1 1 1 4 1 1 2 2
2 2 2
4 sin 2 sin sin 0 1 0
3 2 3 3 3 2 3 3 3 9
0 0 0
2 3 1
62
..
99
ед массы


= + = + = + =




+
+
==
Задача 5. Найти площадь плоской области ограниченной линиями
2
; 1 ,2 1.y y x x
x
= = =
( )
22
3
2
2 1 1 1 1 1
2ln 2 2ln 2 2ln 2 2 2ln2 2 ln2
1
2 2 2 2 2 2 8
2
x
xx


= + = + + = + + =




( )
3
4 2 . . .
8
дт кв ед=−
Задача 6. Найти объем цилиндрического тела ограниченного поверхностями
2
1, 1, , , 0.y y z y x y x z= + = = = =
( ) ( ) ( ) ( )
22
1 1 1
2
21
2
0 0 0
, , 1 0 1
2
xx
D
xx
x
y
V z x y z x y dxdy dx y dy dx y dy y dx
x


= = = = =




11
2 4 2 4 2 3 5
2
00
1
3 1 1 1 1
0 ( . .).
0
2 2 2 2 2 2 10 2 2 10 10
x x x x x x x
x x dx x dx куб ед



= = + = + = + =






Showing Page:
2/4
Задача 7. Найти объем тела ограниченного поверхностями
2 2 2 2 2
4 , 4 .x y z x y z+ = + =
. . .:
cos ;
sin ;
;
Рассм цилиндр коорд
xr
yr
zz
=
=
=
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2
22
2
2 1 4 2 2 2
22
2
0 0 0 0 0
4
3
2
22
2
1
2 2 2
2
0
0 2 ;
: 0 2;
4 4 ;
4
2
44
0
4
44
2
1
2 4 4 4
3
0
22
2
r
V
r
телоV r
r z r
r
V dV d rdr dz d z rdr r r rdr
r
rr
r r d r








= = = = =






−−



= = =







( ) ( )
2
3
2
2
4 4 2 8 8
0 8 . . .
3
2 3 3
2
куб ед






= = =






Задача 8. Найти массу и среднюю плотность тела, ограниченного поверхностями
Если плотность
2.z
=
( ) ( )
.7( . . . . .);
. , , 2 , , ;
Тело как в зад см рис и ввд цил коорд
плотн x y z z r z
==
( ) ( )
2
2
2
2 2 4 2 2 2
2
2 2 2
2
0 0 0 0 0
4
:
4
2
2 4 4
0
4
r
V
r
Масса тела
r
m dV d rdr zdz d z rdr r r rdr
r





= = = = =






( )
2 2 2
2 4 2 2 4 3 5
0 0 0
2 4 6
2 16 8 4 2 12 7 2 12 7
2
7 1 7 1 20 40
2 6 2 6 4 16 64 0 2 . ;
0
4 6 4 6 3 3
. . :
r r r rdr r r rdr r r r dr
rrr ед массы
Средн плотн тела
= + + = + = + =

= + = + = =




( )
40
3
5 . . .
8
3
m
ед плотн
V
= = =
Задача 9. Найти объем фигуры, образованной вращением криволинейной трапеции,
ограниченной линиями
42
sin , cos , 0; , 0, 0,
2
x t y t t x y

= = = =


вокруг оси ОХ.
2 2 2 2 2
4 , 4 .x y z x y z+ = + =
Showing Page:
3/4
( ) ( ) ( )
( )
1
2 2 2
2
2 2 / 2 3 5 3
0 0 0 0
2 2 2
3 3 2 3 3 3
0 0 0
cos 4sin cos 4 cos sin
1 1 cos2
4 sin cos cos 4 sin 2 sin 2 sin 2 cos2
8 2 4
V y x dx y t x t dt t t t dt t tdt
t
t t tdt t dt t t t dt

= = = = =
+

= = = + =

( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 3 2 3
0 00 0 0
1 cos 2 sin2 sin 2 cos2 cos 2 1 cos2 sin 2 sin 2
4 4 8 8
t tdt t tdt t d t t d t
= + = + =
( ) ( ) ( )
34
1 1 1 1
22
cos 2 cos2 sin 2 1 1 1 0 . . .
8 3 8 4 8 3 3 6
00
t t t куб ед


= + = + =


Задача 10. Найти площадь части поверхности
2
1,zx=−
вырезанной плоскостями
, 1, 0.y x x y x= + = =
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
22
//
22
2
1 1 1 1 1
1
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0
11
1 1 0
11
1
1
12
1 1 2
2
1 1 1 1 1 2 1
xy
D D D D
x
x
x x x
S z z dxdy dxdy dxdy dxdy
xx
x
x
x x x dx
dx x dx
dy y dx dx dx
x
x x x x x x
−+
= + + = + + = = =
−−
= = = = = + =


( )
1
2
2
2
2
0
11
1
11
22
arcsin 2 arcsin arcsin0 2 1 0 2 1 1 0
2 6 4
21
00
dx
xx
x

= + = + = + =


( )
3 6 3 12
2 1 3 2 . . .
6 2 6 6
кв ед

+−
= + = + =



Задача 11. Найти
y
M
участка кривой,
ln , 1; 3y x x

=

если плотность
3.x
=
( )
( ) ( )
( )
( )
2
3
2
1
3 3 3 3
2
1
2 2 2 2 2
2
2
1 1 1 1
2
3
33
2
2
22
1
1 , 3 1
1 1 3
3 1 3 3 1 1 1
2
1
3
33
1 4 2 8 2 2.
3
2
11
2
xb xb
y
xa xa
d
M x d x dx x y x dx x x dx
dx x
x
x dx x dx x xdx x d x
xx
x
x

= = = + = + =




+
= + = = + = + + =
+
= = + = =
Задача 12. Найти
xy
M
тела ограниченного поверхностями
2
, 2, 0,z y x x y z= + = =
если плотность
6.
=
( )
( )
( )
2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
2
22
2 0 2 2
2
11
24
2 2 2 2
2
22
6 3 3
0
2
2
3 3 2
2 2 2
yx
x x x
xy
V
x x x
yx
M z dV dx dy z dz dx z dy dx y x dy
x
x
yx
x y dx x x x x dx
x
−−

= = = = =







= = =











Showing Page:
4/4
1
2
2 3 4 2 3 4 5
2
1
1 1 1 1 243
3 2 2 2 3 2 .
2
2 2 2 4 10 20
x
x x x x dx x x x x x


+ = + + =




( )
( )
( )
2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
2
22
2 0 2 2
2
11
24
2 2 2 2
2
22
6 3 3
0
2
2
3 3 2
2 2 2
yx
x x x
xy
V
x x x
yx
M z dV dx dy z dz dx z dy dx y x dy
x
x
yx
x y dx x x x x dx
x
−−

= = = = =







= = =












Unformatted Attachment Preview

Name: Description: ...
User generated content is uploaded by users for the purposes of learning and should be used following Studypool's honor code & terms of service.
Studypool
4.7
Trustpilot
4.5
Sitejabber
4.4