Showing Page:
1/2
1
Числовые и функциональные ряды
Контрольная работа (вариант 19)
Задача 1
А) Исследовать на сходимость ряд
21
2
2
1
2 2 1
5 2 3ln
n
n
nn
n n n
=

++


−+

, (1) числовой ряд с положительными
членами.
Рассм.
( )
1
2
21
2
2
2
2
2
1
22
2 2 1 2 2
1
52
3ln
5 2 3ln
52
n
n
n
n
nn
n
nn
n
Cu
n
n n n
n
→

++



+ + +

= = = ⎯⎯





−+


−+


, след. ряд
(1) сходится по радикальному признаку Коши.
Б) Исследовать на сходимость ряд
1
1
23
n
tg
n
=
+
, (1) числовой ряд с положительными членами.
Рассм.
1 1 1 1
2 3 2 3 2
n
nn
u tg
n n n
=
++
, но ряд
1
1
n
n
=
- расходящийся эталонный ряд Дирихле, след. ряд
(1) расходится по 2–му признаку сравнения.
В) Исследовать на сходимость ряд
3
1
11
sin
n
n
nn
=
+
, (1) числовой ряд с положительными членами.
Рассм.
, след. числовой ряд (1) расходится по
достаточному признаку расходимости.
Задача 2 Исследовать знакочередующийся ряд
( )
3
3
1
1
2 ln
n
n
n
nn
=
+
, (1) на абсолютную и условную
сходимость.
а) исследуем знакочередующийся ряд (1) на абсолютную сходимость:
рассм.
33
7
33
6
11
2
2 ln 2
n
n
nn
u
n n n
n
→
= =
+
, но ряд
7
6
1
1
n
n
=
- сходящийся эталонный ряд Дирихле,
след. ряд
1
n
n
u
=
сходится по 2–му признаку сравнения и след. знакочередующийся ряд (1) является
абсолютно сходящимся;
Задача 3 Найти область сходимости степенного ряда
( )
2
1
33
n
n
n
xn
n
=
+
, (1).
а) вычислим радиус сходимости
( )
( )
( )
2
1
2
2
2
1
3 1 3
1 2 4
lim lim 3lim 1 3 1 1 3
13
33
1
n
n
n
n n n
n
n
a n n n
R
a n n
n
n
+
+
++
++
= = = = =
++
+
+
,
след. степенной ряд (1) сходится абсолютно при
( )
3, . . 3;3x т е x
;
б) исследуем поведение степенного ряда (1) на границе промежутка сходимости, т.е. в точках
12
3, 3:xx= =
Showing Page:
2/2
2
( )
( )
( )
( )
2
2
3
31
3
33
n
n
n
n
n
n
u
n
n
= =
+
+
, (2) - знакочередующийся ряд;
исследуем знакочередующийся ряд (2) на абсолютную сходимость:
рассм.
( )
3
22
2
1
3
3
n
n
nn
u
nn
n
→
= =
+
но ряд
3
2
1
1
n
n
=
- сходящийся эталонный ряд Дирихле, след. ряд
( )
1
3
n
n
u
=
сходится по 2–му признаку сравнения и след. знакочередующийся ряд (2) является абсолютно
сходящимся и след. степенной ряд (1) сходится абсолютно при
3x =−
;
( )
( )
3
22
2
2
31
3
3
33
n
n
n
n
n n n
u
nn
n
n
→
= = =
+
+
, (3) - числовой ряд с положительными членами;
но ряд
3
2
1
1
n
n
=
- сходящийся эталонный ряд Дирихле, след. ряд
( )
1
3
n
n
u
=
сходится по 2–му признаку
сравнения и след. степенной ряд (1) сходится при
3x =
.
Ответ: Степенной ряд (1) сходится абсолютно при
3;3 .x−
Задача 4 Воспользовавшись стандартными разложениями, найти три ненулевых слагаемых разложения
функции
( )
( )
3 4cos
exp 2
arctg x x
fx
x
+
=
в ряд Маклорена.
( )
( )
( )
2
3 4cos
3 4cos
exp 2
x
arctg x x
f x e arctg x x
x
+
= = + =
( ) ( )
( )
2
3 5 2 1
22
2
1 ... ... 3 ... 1 ...
1! 2! ! 3 5 2 1
n
n
n
xx
x x x x
x
nn
+

−−

= + + + + + + + +



+


( )
( )
2 4 2
4 1 ... 1 ...
2! 4! 2 !
n
n
x x x
n

+ + + + =



( ) ( )
( )
( )
( )
2
2 3 2 2 1
22
2
1 ... ... 4 3 4 3 ... 4 1 3 1 ...
1! 2! ! 2! 3 2 ! 2 1
n
nn
nn
xx
x x x x x
x
n n n
+


−−
= + + + + + + + + +




+


;
вычислим первые члены разложения функции
( )
fx
:
( )
0
1 4 4;ux= =
( )
1
2
1 3 4 3 4 ;
1!
x
u x x x x x

= + = =


( )
( )
2
2
2 2 2 2
2
2
2
1 4 3 4 2 6 8 2 .
2! 1! 2!
x
xx
u x x x x x x


= + + = + =





Unformatted Attachment Preview

Name: Description: ...
User generated content is uploaded by users for the purposes of learning and should be used following Studypool's honor code & terms of service.
Studypool
4.7
Trustpilot
4.5
Sitejabber
4.4