Showing Page:
1/7
1
Вариант 25
Задача 1. Вычислить определенный интеграл методом замены переменной с
точностью до двух знаков после запятой.
1
11
2
02
43
3
2 2 2
0,67
2 4 3
3 3 3
43
11
02
tx
dx
dt
dx
dt t
x
x
xt
xt
=−
=−
= = = =
= =
= =

Задача 2. Вычислить определенный интеграл методом интегрирования по
частям с точностью до двух знаков после запятой.
( )( )
( )
22
1
0
1
1
1
0
0
0
arcsin
2
22
4
arcsin
21
2
4
2
22
2
2 2 arcsin 4 2 4 3 2 0,22
2 3 3
2
x dx dx dx
u du
x
xx
xx
dx
x
dx
dv v x
x
x dx
xx
x

= = = =
−+
==
= =

= = + + = +


+

Задача 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков
после запятой, выделяя в знаменателе полный квадрат.
( )
1 1 3
3
2 2 2
2
0 0 2
2
3 2 0,14
02
4 5 1
21
13
tx
dt dx
dx dx dt
arctgt arctg arctg
xt
x x t
x
xt
=+
=
= = = = =
= =
+ + +
++
= =
Задача 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:
3
1
; 0; 1;
1 ln
x x y y e
yy
= = = =
+
Решение.
33
4
4
1
1 1 3 1
1 ln
( ) 2 2
1 ln
4
11
ee
ty
dy
dt
dy dt
y
S x y dy t
y y t
x e t
xt
=+
=
= = = = = =
+
= =
= =
Showing Page:
2/7
2
Задача 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными
уравнениями:
( )
3
3
24cos
2sin
9 3 9 3
xt
yt
xx
=
=
=
Решение.
Астроида симметрична относительно оси 0х, при этом точке
3
3
24cos 9 3 cos
26
t t t y
= = = =
, а точке
2
24 0b x t= = =
. Поэтому:
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
00
6
3 2 4 2
0
66
66
2
2
00
6 6 6 6
2 3 2 3
0 0 0 0
2 ( ) ( ) 2 2sin 72cos sin 288 sin cos
36 1 cos2 1 cos2 36 1 2cos2 cos 2 1 cos2
36 1 cos2 cos 2 cos 2 36 1 cos2 36 cos 2 36 cos 2
S y t x t dt t t t dt t tdt
t t dt t t t dt
t t t dt t dt tdt tdt


= = = =
= + = + + =
= + = + =

( )
( )
( )
66
6
2
00
0
66
3
00
1
36 sin 2 18 1 cos4 18 1 sin 2 sin 2
2
11
6 9 3 18 sin 4 18 sin 2 sin 2
43
9 3 9 3
6 9 3 3 9 3 3
44
t t t dt t d t
t t t t



= + + =


= + =
= + + =

Задача 6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными
уравнениями в полярных координатах
cos sinr

=+
Решение:
3
0 cos sin
44
r

( )
( )
( )
4 4 4 4
2
2 2 2
3 3 3 3
4 4 4 4
1 1 1
cos sin sin cos sin cos
2 2 2
S r d d d d
= = = + =
( )
( )
( )
( )
3 3 3 3
4 4 4 4
2
2 2 2
4 4 4 4
33
3
2
44
4
4
44
1 1 1
cos sin sin cos sin cos
2 2 2
1 sin
sin sin
2 2 2 2
S r d d d d
dd


−−
= = + = + + =
= + = + =

Showing Page:
3/7
3
Задача 7.. Вычислить длину дуги кривой:
lncos 2; 0
6
y x x
= +
Решение.
( )
1
( ) sin
cos
y x x tgx
x
= =
( )
6 6 6 6
2
2
2
0 0 0 0
1
1
2
2
2
0
0
sin
cos
cos
1 ( ) 1
1
cos
1 sin
62
00
1 1 ln3
ln
2 1 2
1
tx
dt xdx
dx xdx
L y x dx tg xdx
x
x
xt
xt
dt t
t
t
=
=
= + = + = = = =
= =
= =
+
= = =
Задача 8. Вычислить длину дуги кривой:
2( sin )
2(1 cos )
x t t
yt
=−
=−
;
0
2
t

Решение.
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2
0 0 0
22
2
2
0
00
( ) ( ) 2 1 cos sin 2 2 1 cos
2
2 2 2sin 4 sin 8cos 8 1
2 2 2 2
L x t y t dt t tdt tdt
t t t
dt dt


= + = + = =

= = = =




Задача 9. Вычислить длину дуги кривой:
12
5 ; 0
5
=
Решение.
( )
( )
12 12 12
5 5 5
2
2 2 2
0 0 0
12 12
12
55
5
2
00
0
( ) 25 25 5 1
12 12
55
00
5 5 1 5 12 1 12
5 1 2 2 2
2 2 2 2 5 2 5
12
2
5
arcsh arcsh
arcsh
sht
d chtdt
L d d d
t arcsh
t
ch tdt ch t dt t sh t arcsh sh arcsh
sh arcsh
=
=
= + = + = + = =
= =
= =

= = + = + = + =


=

24 12 8 144 104 5 12 52
1
5 5 3 25 15 2 5 15
ch arcsh arcsh
= = + = = +
Showing Page:
4/7
4
Задача 10. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями
2 2 2
1; 0; 5
16 9 100
x y z
zz+ + = = =
Решение.
Имеем тело (эллипсоид) с сечениями параллельно XOY, зависящими только
от z:
)(zSS =
.
Значит объем тела:
5
0
()V S z dz=
Сечение, перпендикулярное оси OZ эллипс:
2 2 2 2
1 ( ) 3 ( )
16 9 100 16
x y z x
U z y U z+ = = =
Площадь эллипса:
==
==
==
=
=
==
2
2
2
4
4
2
cos24
2
4
2
4
cos4
sin4
16
32)(
tdtU
tUx
tUx
tdtUdx
tUx
dx
x
UzS
U
U
2
2
2
2
2
1
12 (1 cos2 ) 12 sin2 12 ( ) 12 1
2 100
z
U t dt U t t U z



= + = + = =




.
5
55
23
00
0
5
( ) 12 1 12 12 5 55
100 300 12
zz
V S z dz dz z

= = = = =



Задача 11. Вычислить объем тела, образованного вращением фигур,
ограниченных графиками функций. Ось вращения Oy.
32
;y x y x==
Решение: Найдем точки пересечения графиков функций
23
01y x x x= =
Значит, объем тела:
( )
11
2 2 2 3 4 6
1 2 1 2
00
1
57
0
( ) ( ) ;
1 1 2
5 7 5 7 35
x
V y x y x dx y x y x x x dx
xx



= = = = = =



= = =





Задача 12. Найти координаты центра масс плоской однородной фигуры Ф,
ограниченной осями координат и дугой астроиды, расположенной в первом
квадранте.
Решение: Дуга астроиды, расположенная в первом квадранте, может быть
записана в параметрическом виде:
3
3
cos
sin
x a t
y a t
=
=
,
0
2
t

Showing Page:
5/7
5
При этом координата х монотонно возрастает от
3
cos 0
22
t x a

= = =
до
3
0 cos 0t x a a= = =
. Поэтому:
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
00
2
3 2 2 4 2
0
22
22
22
2
2
00
2 2 2 2
2 2 2
2 3 2
0 0 0
2 ( ) ( ) 2 sin 3 cos sin 6 sin cos
33
1 cos2 1 cos2 1 2cos2 cos 2 1 cos2
44
3 3 3 3
1 cos2 cos 2 cos 2 1 cos2 cos 2 c
4 4 4 4
S y t x t dt a t a t t dt a t tdt
aa
t t dt t t t dt
a a a a
t t t dt t dt tdt


= = = =
= + = + + =
= + = +

( )
( )
( )
2
3
0
2 2 2
22
2
2
00
0
2 2 2 2 2 2
22
3
00
os 2
3 1 3 3
sin 2 1 cos4 1 sin 2 sin 2
4 2 8 8
3 3 1 3 1 3 3 3
sin 4 sin 2 sin 2
8 8 4 8 3 8 16 16
tdt
a a a
t t t dt t d t
a a a a a a
t t t t


=

= + + =


= + = =

( )
( ) ( )
( )
0
2
3 3 2 4 5
2
0
2
1
2
22
4 2 4 2
00
1
1
4 6 8 5 7 9
0
0
1 16 16
cos sin 3 cos sin sin cos
3
sin
cos
16 16
sin 1 sin cos 1
1
2
00
16 16 1 2 1 16
2
5 7 9
b
C
a
a
x xdS a t a t a t t dt t tdt
S
a
ut
du tdt
aa
t t tdt u u du
tu
tu
a a a
u u u du u u u

= = = =
=
=
= = = =
= =
= =

= + = + =



1 2 1 128
5 7 9 315
a

+ =


( )
( ) ( )
( )
0
2
3 3 2 7 2
2
0
2
0
2
33
2 2 2 2
01
1
2 4 6 8 3 5 7 9
0
0
1 8 8
sin sin 3 cos sin sin cos
2
3
cos
sin
88
1 cos cos sin 1
0
2
01
8 8 1 3 3 1
33
3 5 7 9
b
C
a
a
y ydS a t a t a t t dt t tdt
S
a
ut
du tdt
aa
t t tdt u u du
tu
tu
aa
u u u u du u u u u


= = = =
=
=−
= = = =
= =
= =

= + = +



1
8 1 3 3 1 128
3 5 7 9 315
aa

= + =


(Ответ не совпадает)
Задача 13. Найти момент инерции дуги параболы
2
4 , 3y x y=
относительно оси ОХ.
Решение:
Showing Page:
6/7
6
Находим границы фигуры:
2
4
3 4 1 1
3
yx
yx
y
=−
Момент инерции дуги параболы:
( )
( )
( )
11
2
2
2 2 2
11
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2
2
2
1
2
1
1 4 1 4
2
12
12
1 1 1
42
2 4 8
1
2 1 2 2
32
x
arcsh arcsh arcsh
arcsh arcsh arcsh
arcsh
arcsh
x sht
dx chtdt
I y y dx x x dx
x t arcsh
x t arcsh
sh t ch tdt ch tdt sh tch tdt
ch t dt sh tdt
−−
=
=
= + = + = =
= =
= =

= = =


= +

( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2
22
22
2
2
2
11
2 2 4 1
2 64
1 1 65 1
2 2 2 2 4 2 2 2 2 4 2
64 4 32 128
2 2 4 2 4 1 4 4 5
4 2 2
arcsh
arcsh arcsh
arcsh arcsh
arcsh
arcsh
arcsh
t sh t ch t dt
arcsh sh arcsh sh t t arcsh sh arcsh sh arcsh
sh arcsh ch arcsh
sh arcsh s
−−

= + =



= + = + =




= = + =
=
=

( ) ( ) ( )
2
65 129 5
2
32 16
2 2 2 2 8 5 1 2 2 72 5
arcsh
h arcsh ch arcsh sh arcsh
=+
= + =
Задача 14. Вычислить несобственные интегралы или доказать их
расходимость:
а)
2
0
2 2 1
dx
xx
−+
Подынтегральная функция определена и непрерывна при
0x
.
Значит, несобственный интеграл:
22
00
2 2 1 2 2 1
lim
b
b
dx dx
x x x x
+
=
+ +

( )
22
00
0
2
0
1
1 1 1 2 1 1
2
2
2 2 1
3 3 3 3 3
13
2
24
1 2 1
6
33
1 2 1 1 1
6 6 2 6
2 2 1
3 3 3 3 3 3
lim
b
bb
b
x
dx dx b
arctg arctg arctg
xx
x
b
arctg
dx b
arctg arctg
xx
+

= = = =

−+


−+



=




= = + = =


−+



Несобственный интеграл сходится.
б)
1
9
1
2
12
dx
x
Showing Page:
7/7
7
Подынтегральная функция определена и непрерывна при
1
1
2
x
и
9
1
12x
−
при
1
0
2
x →+
. Значит, несобственный интеграл:
11
99
1
1
0
2
2
1 2 1 2
lim
a
a
dx dx
xx
→+
=
−−

( )
( )
( )
( )
11
1
8
9
8
9
99
12
12
1
8
9
9
1
1
0
2
2
12
2
1 9 9
1 2 1
11
2 16 16
12
12
99
1 2 1
16 16
12
lim
a
aa
a
tx
dt dx
dx dt
ta
xt
xt
x a t a
dx
a
x
→+
=−
=−
= = = =
= =
= =

= =



Несобственный интеграл сходится.
Задача 15. Исследовать сходимость интеграла от неотрицательной
функции
1
0
1
sin
x
e
dx
x
.
Подынтегральная функция определена и непрерывна при
01x
и не
определена при
0x
.
Оценка при
1
11
0
sin
sin
x
x
ex
ex
x
xx
xx
x
=
Поскольку интеграл
1
1
0
0
22
dx
x
x
==
сходится, то по признаку сравнения
сходится исходный несобственный интеграл.

Unformatted Attachment Preview

Name: Description: ...
User generated content is uploaded by users for the purposes of learning and should be used following Studypool's honor code & terms of service.
Studypool
4.7
Trustpilot
4.5
Sitejabber
4.4