В – 27 Задача 1. Вычислить определенный интеграл методом замены переменной с точностью до двух знаков после запятой. t = ln x dx e 1 dt = ln 2 x t3 2 dx = = t dt = x 1 x  3 x = e  t =1 0 x =1 t = 0 1 = 0 1  0,33 3 Задача 2. Вычислить определенный интеграл методом интегрирования по частям с точностью до двух знаков после запятой.     u = x  du = dx  9 xdx 1  0 cos2 3x = dv = dx  v = 1 tg 3x = 3  xtg 3x 09 − 0 tg 3xdx  =   3 cos 2 3 x   u = cos 3x  1 du = −3sin 3xdx 9  3 1 sin 3x  3 1 2 dt  3 1 = −  dx = = +  = + ln t  1 27 3 0 cos 3 x 27 91 t 27 9 x= u= 9 2 x = 0  u =1 9 1 2 1 =  3 27 − ln 2  0,12 9 Задача 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после запятой, выделяя в знаменателе полный квадрат.. 1  1 2 1 dx x−x 2 = 1 2 1 x− dx 2 = arcsin 2 1 1  1 −x−  2 4  2 1 1  2 2 = arcsin ( 2 x − 1) 1 = arcsin1 =  1,57 1 2 Задача 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:  y1 = ( x + 1)2  2 y = ( x + 1) ; y 2 = x + 1   y2 =  x + 1  x  −1  Решение. Находим точки пересечения графиков функций: x = 0 → y = 1 2 y =  x + 1 = ( x + 1)    y  0  y2 = x + 1  x = −1 → y = 0   y ( x) − y ( x) dx =  ( 0 S= 0 2 −1 1 −1 x + 1 − ( x + 1) 2 ) 2 dx =  3 0 1 1 3 ( x + 1) − ( x + 1)  = 3  −1 3 3 Задача 5. Вычислить площадь фигуры:  x = 10(t − sin t ) ; y = 15 ( 0  x  20 ; y  15 ) .   y = 10(1 − cos t ) Решение. y = 15 ( y  15 )  10 − 10 cos t  15  cos t  − 1 2 4  t 2 3 3 S= 4 3 4 3  y(t )  x(t )dt = 100  (1 − cos t ) 2 3 2 2 3 = 100 ( t − 2sin t ) 4 3 2 3 4 3 4 3 2 3 2 3 dt = 100  (1 − 2cos t ) dt + 50  (1 + cos 2t )dt = 4 200 100  1  3 + 50  t + sin 2t  = + 200 3 + + 25 3 = 100 + 225 3 3 3  2  2 3 Задача 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах r = 2sin 4 Решение: r  0  0  4    0       4   4 4 14 2  1 4  2 S =  r d = 2  sin 4d =  (1 − cos8 )d =  t − sin 8  = 20 4  8 0 0 0 Задача 7. Вычислить длину дуги кривой: y = e x + 13 ; ln 15  x  ln 24 Решение. ln 24  L= 1 + ( y ( x) ) dx = ln 24  2 ln 15 ln 15 t = 1 + e2 x 1 x = ln(t 2 − 1) 2 5 2 5 5 tdt t dt dt 1 + e 2 x dx = dx = 2 = 2 =  dt +  2 = t −1 4 t −1 4 4 t −1 x = ln 15 → t = 4 x = ln 24 → t = 5 1 t −1 1 2 1 3 1 10 = 1 + ln = 1 + ln − ln = 1 + ln 2 t +1 4 2 3 2 5 2 9 5 Задача 8. Вычислить длину дуги кривой:  x = 3(t − sin t ) ;   t  2   y = 3(1 − cos t ) Решение. 2 L= 2 ( x(t ) ) + ( y (t ) ) dt =3   2  2  2 (1 − cos t ) + sin 2 tdt =3 2  1 − cos tdt = 2  2  t t t 2 = 3 2  2sin 2 dt =6  sin dt = − 12 cos = 12 1 −  2 2 2 2     2 2 Задача 9. Вычислить длину дуги кривой:  = 2(1 − cos  ) ; −    −  2 Решение. − L=  − 2  2  2 + (  ( ) ) d =2  (1 − cos  ) 2 + sin 2  d =  2 − − −  2 =2 2 − −  −       2 1 − cos  d =4  sin   d = − 8cos   = 8cos = 4 2 4 2  2  − − 2 Задача 10. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями z = 2 x2 + 8 y 2 , z = 4 Решение: Имеем тело (эллиптический параболоид) с сечениями параллельно XOY, зависящими только от z: S = S (z ) . 4 Значит, объем тела: V =  S ( z )dz 0 Сечение, перпендикулярное оси OZ – эллипс: 2 x2 + 8 y 2 = z  y =  1 z − x2 2 2 Площадь эллипса: z sin t 2 x= S ( z) = 2 z 2  z − 2 1 z − x 2 dx = 2 2 z cos tdt 2 dx = z  →t = 2 2 x= x=− = z 2 2  cos − 2 tdt = 2 z  →t =− 2 2  z = 4   z 1  2  (1 + cos 2t )dt = 4  t + 2 sin 2t  − = 4 z 2 − 2 2 4 V =  S ( z )dz = 0   4 zdz = z 4 8 2 4 0 = 2 0 Задача 11. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций. Ось вращения OY. y = x − 1; y = 0; y = 1; x = 0,5 Решение: Объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций, есть сумма объемов тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций y = x − 1; y = 1; x = 1 и y = 1; y = 0; x = 0,5; x = 1 Найдем координаты границ тел по оси OX:  y = x − 1 = 1 → x = 2 1 x  2   x = 1 Значит, объем тела: b d 1 2  Vy = V1 y + V2 y = 2   x y1 ( x ) dx + 2   x y2 ( x ) dx = 2   x x − 1dx +  xdx  =  1  a c 0,5 t = x −1 2 x2 = 2   x x − 1dx + 2  1 1 x = t2 +1  1 1 x2 = 2   ( t 2 + 1) t 2 dt +  = dx = 2tdt 2  2 0 0,5   x =1→ t = 0 x = 2 → t =1 1  t5 t3  3 8 3 77 = +  + = + = 15 4 60  5 3 0 4 1  3 =  =   ( t 4 + t 2 ) dt + 4  0 0,5  1 Задача 12. Найти координаты центра масс плоской однородной фигуры Ф, ограниченной кардиоидой:  = a (1 + cos  ) Решение:  x =  cos  = a ( cos  + cos 2  )    y =  sin  = a ( sin  + sin  cos  )    0  0    2   2 2 1 1 a2 2 2 2 S =   d =  a (1 + cos  ) d = 2 0 2 0 2 2 a2 a2 = ( + 2sin  ) + 2 4 0  xdS = 0  ( cos  + 3cos  2 a2 1 + cos 2  d  =  a + ( ) 0 4 2  3 cos  d = 0 2 a 3  cos  d + 0 2 2  cos 2 d  0 2 1 3 a 2    + sin 2  =   2 2  0 2  a (1 + cos  ) 3 3 cos  d = 0  + 3cos3  + cos 4  )d = a  2 2  cos  d + 0 a  2 3  cos d + 0 2 a 3 0 1 2S  ydS = 0  d = 0 2 0 2 1 6 a 2 2  2  (1 + cos 4 )d = 0  3 sin  d = 0 2  (1 + 3cos  + 3cos a 6 4 0 a a ( + sin 2 ) + 12 24 0 2  cos 2 1 a  sin 3   a    + sin 2  +  sin  −   +   2   3  0 12  0 =a+ 2 a a 2 2  (1 + cos 2 ) d +   (1 − sin  ) cos d + 12  (1 + cos 2 ) d = 2 =− 1 3 a 2 2 a 2 yc = a2 0 (1 + 2 cos  )d + 2 0 2 a a = sin  + 3 2 0 = 2 1 3 a 2 2 a = 3 = 2 1 S xc = 2 2 1 6 a 2 2  (1 + 2 cos 2 )d + 0 7a a + 6 24 2  a (1 + cos  ) 3 3 a 12 2  cos 2 2 d = 0 2 1 5a     + sin 4  = 4 6  0 sin  d = 0  + cos3  ) d ( cos  ) = 0 2 3 1   2 3 4  cos  + cos  + cos  + cos   = 0 2 4  0 a =− 6 Задача 13. Найти статический момент относительно оси Оy треугольника, ограниченного прямыми x + y = 2, x = 0, y = 0 . Решение: x + y = 2  y = 2 − x  0  x  2 Статический момент относительно оси Оy: 2 2 0 0 M y =  xdL =  x 1 + ( y  ( x ) ) 2 2 x2 dx = 2  xdx = 2  2 0 2 =2 2 0 Задача 14. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость: а)   0 4 xdx (16 + x ) 2 5 Подынтегральная функция определена и непрерывна при x  0 . Значит, несобственный интеграл:   0 4 (16 + x ) 2 5 b  0 4 xdx (16 + x ) 2 5   0 4 b xdx = lim  b →+ 0 4 xdx (16 + x ) 2 5 t = 16 + x 2 dt = 2 xdx = x = 0  t = 16 (16 + x ) 2 5 16 + b 2  16 dt 4 t5 =− 16 + b 2 2 4 t = 1− 16 2 4 16 + b 2 x = b  t = 16 + b 2 b xdx 1 = 2 = lim  b →+ 0 4 xdx (16 + x ) 2 5 = 1 − lim b →+ 2 4 16 + b 2 =1 Несобственный интеграл сходится. б) 1 ln 2dx  (1 − x ) ln (1 − x ) 2 1 2 Подынтегральная функция определена и непрерывна при 1  x 1 и 2 ln 2 → + (1 − x ) ln 2 (1 − x ) при x → 1 − 0 . Значит, несобственный интеграл: 1 b 2 2 ln 2dx ln 2dx 2 1 (1 − x ) ln 2 (1 − x ) = lim  b →1− 0 1 (1 − x ) ln (1 − x ) t = ln (1 − x ) dx ln(1−b ) ln(1−b ) ln 2dx dt ln 2 ln 2 1− x = = ln 2 = − =− −1 2 1 (1 − x ) ln 2 (1 − x ) x = b → t = ln (1 − b )  t ln 1 − b t ( ) − ln 2 − ln 2 b dt = 2 1 → t = − ln 2 2 1  ln 2  ln 2dx = −   − 1 = −1 1 (1 − x ) ln 2 (1 − x ) lim b →1− 0  ln (1 − b )  x= 2 Несобственный интеграл сходится.  Задача 15. Исследовать сходимость интеграла от неотрицательной функции:  e − x dx 0 Подынтегральная функция определена и непрерывна при x  0 . Оценим подынтегральную функцию при x →  : e − x  Поскольку интеграл  x 0 1 x +1 2 dx   = arctgx 0 = сходится, то по признаку сравнения сходится 2 +1 2 исходный несобственный интеграл. Name: Description: ...