Showing Page:
1/5
В 27
Задача 1. Вычислить определенный интеграл методом замены переменной с точностью
до двух знаков после запятой.
1
1
23
2
10
0
ln
ln 1
0,33
33
1
10
e
tx
dx
dt
xt
dx t dt
x
x
x e t
xt
=
=
= = = =
= =
= =

Задача 2. Вычислить определенный интеграл методом интегрирования по частям с
точностью до двух знаков после запятой.
99
9
2
0
00
2
1
9
2
1
2
1
01
1
33
1
3
cos 3 3
3
cos 3
cos3
3sin3
3 1 sin3 3 1 3 1 3 ln 2
ln 0,12
1
27 3 cos3 27 9 27 9 27 9
92
01
u x du dx
xdx
xtg x tg xdx
dx
x dv v tg x
x
ux
du xdx
x dt
dx t
xt
xu
xu


= =

= = =

= =


=
=−
= = = + = + =
= =
= =


Задача 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после запятой,
выделяя в знаменателе полный квадрат..
( )
1
11
1
1
22
2
11
1
22
2
1
2
arcsin arcsin 2 1 arcsin1 1,57
1
2
11
2
42
x
dx dx
x
xx
x
= = = = =

−−



Задача 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:
( )
( )
2
1
2
2
2
1
1 ; 1 1
1
yx
y x y x y x
x
=+
= + = + = +
−
Решение.
Находим точки пересечения графиков функций:
( )
2
11y x x= + = +
2
01
01
10
xy
y y x
xy
= =
= +
= =
( )
( )
( ) ( )
0
00
2 3 3
21
11
1
2 1 1
( ) ( ) 1 1 1 1
3 3 3
S y x y x dx x x dx x x
−−

= = + + = + + =



Задача 5. Вычислить площадь фигуры:
Решение.
( )
1 2 4
15 15 10 10cos 15 cos
2 3 3
y y t t t

=
Showing Page:
2/5
( )
4 4 4 4
3 3 3 3
2
2 2 2 2
3 3 3 3
( ) ( ) 100 (1 cos ) 100 1 2cos 50 (1 cos2 )S y t x t dt t dt t dt t dt
= = = + + =
( )
4
4
3
3
2
2
3
3
1 200 100
100 2sin 50 sin 2 200 3 25 3 100 225 3
2 3 3
t t t t


= + + = + + + = +


Задача 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в
полярных координатах
2sin 4r
=
Решение:
0 0 4 0
4
r
( )
4 4 4
4
22
0 0 0
0
11
2 sin 4 1 cos8 sin8
2 8 4
S r d d d t

= = = = =


Задача 7. Вычислить длину дуги кривой:
13+=
x
ey
;
24ln15ln x
Решение.
( )
2
2
ln 24 ln 24 5 5 5
2
2
2
2 2 2
4 4 4
ln 15 ln 15
5
4
1
1
ln( 1)
2
1 ( ) 1
1 1 1
ln 15 4
ln 24 5
1 1 1 2 1 3 1 10
1 ln 1 ln ln 1 ln
2 1 2 3 2 5 2 9
x
x
te
xt
tdt t dt dt
L y x dx e dx dx dt
t t t
xt
xt
t
t
=+
=−
= + = + = = = = + =
= =
= =
= + = + = +
+
Задача 8. Вычислить длину дуги кривой:
3( sin )
3(1 cos )
x t t
yt
=−
=−
;
2t


Решение.
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2
2
22
2
( ) ( ) 3 1 cos sin 3 2 1 cos
2
3 2 2sin 6 sin 12cos 12 1
2 2 2 2
L x t y t dt t tdt tdt
t t t
dt dt



= + = + = =

= = = =




Задача 9. Вычислить длину дуги кривой:
2(1 cos )

=−
;
2

Решение.
( )
22
2
2 2 2
22
2
( ) 2 (1 cos ) sin
2 2 1 cos 4 sin 8cos 8cos 4 2
2 2 4
L d d
dd




−−
−−
−−
−−
= + = + =
= = = = =


Showing Page:
3/5
Задача 10. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями
22
28z x y=+
,
4z =
Решение: Имеем тело (эллиптический параболоид) с сечениями параллельно XOY,
зависящими только от z:
)(zSS =
.
Значит, объем тела:
4
0
()V S z dz=
Сечение, перпендикулярное оси OZ эллипс:
2 2 2
1
28
22
z
x y z y x+ = =
Площадь эллипса:
2
2
22
2
2
2
2
2
2
44
4
2
0
00
sin
2
cos
1
2
( ) 2 cos
2 2 2
22
22
1
(1 cos2 ) sin2
4 4 2 4
( ) 2
48
z
z
z
xt
z
dx tdt
zz
S z x dx tdt
z
xt
z
xt
zz
t dt t t z
V S z dz zdz z

=
=
= = = =
= =
= =

= + = + =


= = = =


Задача 11. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной
графиками функций. Ось вращения OY.
1; 0; 1; 0,5y x y y x= = = =
Решение: Объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками
функций, есть сумма объемов тел, образованных вращением фигур, ограниченных
графиками функций
1; 1; 1y x y x= = =
и
1; 0; 0,5; 1y y x x= = = =
Найдем координаты границ тел по оси OX:
1 1 2
12
1
y x x
x
x
= = =
=
Значит, объем тела:
( ) ( )
( ) ( )
21
1 2 1 2
1 0,5
2
11
2 1 1
22
2 2 4 2
1 0 0
0,5 0,5
1
53
0
2 2 2 1
1
1
13
2 1 2 2 1
2 2 2 4
10
21
38
5 3 4
bd
y y y
ac
V V V x y x dx x y x dx x x dx xdx
tx
xt
xx
x x dx dx tdt t t dt t t dt
xt
xt
tt


= + = + = + =



=−
=+
= + = = = + + = + + =
= =
= =

= + + =


3 77
15 4 60

+=
Showing Page:
4/5
Задача 12. Найти координаты центра масс плоской однородной фигуры Ф,
ограниченной кардиоидой:
( )
1 cosa

=+
Решение:
( )
( )
2
cos cos cos
sin sin sin cos
0 0 2
xa
ya
= = +
= = +
( ) ( )
( )
2 2 2 2
22
2
2 2 2
0 0 0 0
22
2
2 2 2 2
2
0
00
11
1 cos 1 2cos cos
2 2 2 2
13
( 2sin ) 1 cos2 sin2
2 4 4 2 2
aa
S d a d d d
a a a a
da

= = + = + +

= + + + = + + =


( )
( )
( )
( )
2 2 2
3
33
22
0 0 0
2
2 3 4
0
2 2 2 2
2 3 4
0 0 0 0
2
22
2
0
00
1 1 1
cos 1 cos cos
33
cos 3cos 3cos cos
3
cos cos cos cos
33
sin 1 cos2 1 sin cos
3 2 1
c
x xdS d a d
S
aa
a
d
a a a a
d d d d
a a a a
dd


= = = + =
= + + + =
= + + + =
= + + + +

( )
( )
( ) ( )
2
2
0
2
2
22
3
2
00
0
0
2
2
2
0
0
0
1 cos2
2
1 sin
sin 2 sin 1 2cos2 cos 2
2 2 3 12 12
7 1 5
sin 2 1 cos4 sin 4
12 24 6 24 4 6
d
a a a a
dd
a a a a a
ad


+=


= + + + + + =





= + + + + = + + =



( )
( )
( )
2 2 2
3
33
22
0 0 0
2
23
0
2
2 3 4
0
1 1 1
sin 1 cos sin
2
66
1 3cos 3cos cos cos
6
31
cos cos cos cos 0
6 2 4
c
y ydS d a d
S
aa
a
d
a

= = = + =
= + + + =

= + + + =


Задача 13. Найти статический момент относительно оси Оy треугольника,
ограниченного прямыми
2, 0, 0x y x y+ = = =
.
Решение:
2 2 0 2x y y x x+ = =
Статический момент относительно оси Оy:
( )
( )
2
2 2 2
2
2
0 0 0
0
1 2 2 2 2
2
y
x
M xdL x y x dx xdx
= = + = = =
Задача 14. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:
а)
( )
5
2
4
0
16
xdx
x
+
Подынтегральная функция определена и непрерывна при
0x
.
Значит, несобственный интеграл:
Showing Page:
5/5
( ) ( )
55
22
44
00
16 16
lim
b
b
xdx xdx
xx
+
=
++

( )
2
2
2
16
16
4
5 5 2
44
2
4
0 16
16
2
16
2
1 2 2
1
0 16
2
16
16
16
b
bb
tx
dt xdx
xdx dt
xt
t
tb
x
x b t b
+
+
=+
=
= = = =
= =
+
+
= = +

( ) ( )
5 5 2
4
22
44
00
2
11
16
16 16
lim lim
b
bb
xdx xdx
b
xx
+ →+
= = =
+
++

Несобственный интеграл сходится.
б)
( ) ( )
1
2
1
2
ln2
1 ln 1
dx
xx−−
Подынтегральная функция определена и непрерывна при
1
1
2
x
и
( ) ( )
2
ln2
1 ln 1xx
+
−−
при
10x →−
. Значит, несобственный интеграл:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
1
22
10
11
22
ln(1 )
ln(1 )
22
1
ln 2
ln 2
2
1
2
10
1
2
ln2 ln 2
1 ln 1 1 ln 1
ln 1
ln2 ln2 ln 2
1
ln2 1
ln 1
1 ln 1
ln 1
1
ln2
2
ln2 ln2
11
ln 1
1 ln 1
lim
lim
b
b
b
b
b
b
dx dx
x x x x
tx
dx
dt
dx dt
x
tb
x x t
x b t b
xt
dx
b
xx
→−
→−
=
=−
=
= = = =
−−
= =
= =

= =

−−



Несобственный интеграл сходится.
Задача 15. Исследовать сходимость интеграла от неотрицательной функции:
0
x
e dx
Подынтегральная функция определена и непрерывна при
0x
.
Оценим подынтегральную функцию при
x →
:
2
1
1
x
e
x
+
Поскольку интеграл
2
0
0
2
1
dx
arctgx
x
==
+
сходится, то по признаку сравнения сходится
исходный несобственный интеграл.

Unformatted Attachment Preview

В – 27 Задача 1. Вычислить определенный интеграл методом замены переменной с точностью до двух знаков после запятой. t = ln x dx e 1 dt = ln 2 x t3 2 dx = = t dt = x 1 x  3 x = e  t =1 0 x =1 t = 0 1 = 0 1  0,33 3 Задача 2. Вычислить определенный интеграл методом интегрирования по частям с точностью до двух знаков после запятой.     u = x  du = dx  9 xdx 1  0 cos2 3x = dv = dx  v = 1 tg 3x = 3  xtg 3x 09 − 0 tg 3xdx  =   3 cos 2 3 x   u = cos 3x  1 du = −3sin 3xdx 9  3 1 sin 3x  3 1 2 dt  3 1 = −  dx = = +  = + ln t  1 27 3 0 cos 3 x 27 91 t 27 9 x= u= 9 2 x = 0  u =1 9 1 2 1 =  3 27 − ln 2  0,12 9 Задача 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после запятой, выделяя в знаменателе полный квадрат.. 1  1 2 1 dx x−x 2 = 1 2 1 x− dx 2 = arcsin 2 1 1  1 −x−  2 4  2 1 1  2 2 = arcsin ( 2 x − 1) 1 = arcsin1 =  1,57 1 2 Задача 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:  y1 = ( x + 1)2  2 y = ( x + 1) ; y 2 = x + 1   y2 =  x + 1  x  −1  Решение. Находим точки пересечения графиков функций: x = 0 → y = 1 2 y =  x + 1 = ( x + 1)    y  0  y2 = x + 1  x = −1 → y = 0   y ( x) − y ( x) dx =  ( 0 S= 0 2 −1 1 −1 x + 1 − ( x + 1) 2 ) 2 dx =  3 0 1 1 3 ( x + 1) − ( x + 1)  = 3  −1 3 3 Задача 5. Вычислить площадь фигуры:  x = 10(t − sin t ) ; y = 15 ( 0  x  20 ; y  15 ) .   y = 10(1 − cos t ) Решение. y = 15 ( y  15 )  10 − 10 cos t  15  cos t  − 1 2 4  t 2 3 3 S= 4 3 4 3  y(t )  x(t )dt = 100  (1 − cos t ) 2 3 2 2 3 = 100 ( t − 2sin t ) 4 3 2 3 4 3 4 3 2 3 2 3 dt = 100  (1 − 2cos t ) dt + 50  (1 + cos 2t )dt = 4 200 100  1  3 + 50  t + sin 2t  = + 200 3 + + 25 3 = 100 + 225 3 3 3  2  2 3 Задача 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах r = 2sin 4 Решение: r  0  0  4    0       4   4 4 14 2  1 4  2 S =  r d = 2  sin 4d =  (1 − cos8 )d =  t − sin 8  = 20 4  8 0 0 0 Задача 7. Вычислить длину дуги кривой: y = e x + 13 ; ln 15  x  ln 24 Решение. ln 24  L= 1 + ( y ( x) ) dx = ln 24  2 ln 15 ln 15 t = 1 + e2 x 1 x = ln(t 2 − 1) 2 5 2 5 5 tdt t dt dt 1 + e 2 x dx = dx = 2 = 2 =  dt +  2 = t −1 4 t −1 4 4 t −1 x = ln 15 → t = 4 x = ln 24 → t = 5 1 t −1 1 2 1 3 1 10 = 1 + ln = 1 + ln − ln = 1 + ln 2 t +1 4 2 3 2 5 2 9 5 Задача 8. Вычислить длину дуги кривой:  x = 3(t − sin t ) ;   t  2   y = 3(1 − cos t ) Решение. 2 L= 2 ( x(t ) ) + ( y (t ) ) dt =3   2  2  2 (1 − cos t ) + sin 2 tdt =3 2  1 − cos tdt = 2  2  t t t 2 = 3 2  2sin 2 dt =6  sin dt = − 12 cos = 12 1 −  2 2 2 2     2 2 Задача 9. Вычислить длину дуги кривой:  = 2(1 − cos  ) ; −    −  2 Решение. − L=  − 2  2  2 + (  ( ) ) d =2  (1 − cos  ) 2 + sin 2  d =  2 − − −  2 =2 2 − −  −       2 1 − cos  d =4  sin   d = − 8cos   = 8cos = 4 2 4 2  2  − − 2 Задача 10. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями z = 2 x2 + 8 y 2 , z = 4 Решение: Имеем тело (эллиптический параболоид) с сечениями параллельно XOY, зависящими только от z: S = S (z ) . 4 Значит, объем тела: V =  S ( z )dz 0 Сечение, перпендикулярное оси OZ – эллипс: 2 x2 + 8 y 2 = z  y =  1 z − x2 2 2 Площадь эллипса: z sin t 2 x= S ( z) = 2 z 2  z − 2 1 z − x 2 dx = 2 2 z cos tdt 2 dx = z  →t = 2 2 x= x=− = z 2 2  cos − 2 tdt = 2 z  →t =− 2 2  z = 4   z 1  2  (1 + cos 2t )dt = 4  t + 2 sin 2t  − = 4 z 2 − 2 2 4 V =  S ( z )dz = 0   4 zdz = z 4 8 2 4 0 = 2 0 Задача 11. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций. Ось вращения OY. y = x − 1; y = 0; y = 1; x = 0,5 Решение: Объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций, есть сумма объемов тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций y = x − 1; y = 1; x = 1 и y = 1; y = 0; x = 0,5; x = 1 Найдем координаты границ тел по оси OX:  y = x − 1 = 1 → x = 2 1 x  2   x = 1 Значит, объем тела: b d 1 2  Vy = V1 y + V2 y = 2   x y1 ( x ) dx + 2   x y2 ( x ) dx = 2   x x − 1dx +  xdx  =  1  a c 0,5 t = x −1 2 x2 = 2   x x − 1dx + 2  1 1 x = t2 +1  1 1 x2 = 2   ( t 2 + 1) t 2 dt +  = dx = 2tdt 2  2 0 0,5   x =1→ t = 0 x = 2 → t =1 1  t5 t3  3 8 3 77 = +  + = + = 15 4 60  5 3 0 4 1  3 =  =   ( t 4 + t 2 ) dt + 4  0 0,5  1 Задача 12. Найти координаты центра масс плоской однородной фигуры Ф, ограниченной кардиоидой:  = a (1 + cos  ) Решение:  x =  cos  = a ( cos  + cos 2  )    y =  sin  = a ( sin  + sin  cos  )    0  0    2   2 2 1 1 a2 2 2 2 S =   d =  a (1 + cos  ) d = 2 0 2 0 2 2 a2 a2 = ( + 2sin  ) + 2 4 0  xdS = 0  ( cos  + 3cos  2 a2 1 + cos 2  d  =  a + ( ) 0 4 2  3 cos  d = 0 2 a 3  cos  d + 0 2 2  cos 2 d  0 2 1 3 a 2    + sin 2  =   2 2  0 2  a (1 + cos  ) 3 3 cos  d = 0  + 3cos3  + cos 4  )d = a  2 2  cos  d + 0 a  2 3  cos d + 0 2 a 3 0 1 2S  ydS = 0  d = 0 2 0 2 1 6 a 2 2  2  (1 + cos 4 )d = 0  3 sin  d = 0 2  (1 + 3cos  + 3cos a 6 4 0 a a ( + sin 2 ) + 12 24 0 2  cos 2 1 a  sin 3   a    + sin 2  +  sin  −   +   2   3  0 12  0 =a+ 2 a a 2 2  (1 + cos 2 ) d +   (1 − sin  ) cos d + 12  (1 + cos 2 ) d = 2 =− 1 3 a 2 2 a 2 yc = a2 0 (1 + 2 cos  )d + 2 0 2 a a = sin  + 3 2 0 = 2 1 3 a 2 2 a = 3 = 2 1 S xc = 2 2 1 6 a 2 2  (1 + 2 cos 2 )d + 0 7a a + 6 24 2  a (1 + cos  ) 3 3 a 12 2  cos 2 2 d = 0 2 1 5a     + sin 4  = 4 6  0 sin  d = 0  + cos3  ) d ( cos  ) = 0 2 3 1   2 3 4  cos  + cos  + cos  + cos   = 0 2 4  0 a =− 6 Задача 13. Найти статический момент относительно оси Оy треугольника, ограниченного прямыми x + y = 2, x = 0, y = 0 . Решение: x + y = 2  y = 2 − x  0  x  2 Статический момент относительно оси Оy: 2 2 0 0 M y =  xdL =  x 1 + ( y  ( x ) ) 2 2 x2 dx = 2  xdx = 2  2 0 2 =2 2 0 Задача 14. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость: а)   0 4 xdx (16 + x ) 2 5 Подынтегральная функция определена и непрерывна при x  0 . Значит, несобственный интеграл:   0 4 (16 + x ) 2 5 b  0 4 xdx (16 + x ) 2 5   0 4 b xdx = lim  b →+ 0 4 xdx (16 + x ) 2 5 t = 16 + x 2 dt = 2 xdx = x = 0  t = 16 (16 + x ) 2 5 16 + b 2  16 dt 4 t5 =− 16 + b 2 2 4 t = 1− 16 2 4 16 + b 2 x = b  t = 16 + b 2 b xdx 1 = 2 = lim  b →+ 0 4 xdx (16 + x ) 2 5 = 1 − lim b →+ 2 4 16 + b 2 =1 Несобственный интеграл сходится. б) 1 ln 2dx  (1 − x ) ln (1 − x ) 2 1 2 Подынтегральная функция определена и непрерывна при 1  x 1 и 2 ln 2 → + (1 − x ) ln 2 (1 − x ) при x → 1 − 0 . Значит, несобственный интеграл: 1 b 2 2 ln 2dx ln 2dx 2 1 (1 − x ) ln 2 (1 − x ) = lim  b →1− 0 1 (1 − x ) ln (1 − x ) t = ln (1 − x ) dx ln(1−b ) ln(1−b ) ln 2dx dt ln 2 ln 2 1− x = = ln 2 = − =− −1 2 1 (1 − x ) ln 2 (1 − x ) x = b → t = ln (1 − b )  t ln 1 − b t ( ) − ln 2 − ln 2 b dt = 2 1 → t = − ln 2 2 1  ln 2  ln 2dx = −   − 1 = −1 1 (1 − x ) ln 2 (1 − x ) lim b →1− 0  ln (1 − b )  x= 2 Несобственный интеграл сходится.  Задача 15. Исследовать сходимость интеграла от неотрицательной функции:  e − x dx 0 Подынтегральная функция определена и непрерывна при x  0 . Оценим подынтегральную функцию при x →  : e − x  Поскольку интеграл  x 0 1 x +1 2 dx   = arctgx 0 = сходится, то по признаку сравнения сходится 2 +1 2 исходный несобственный интеграл. Name: Description: ...
User generated content is uploaded by users for the purposes of learning and should be used following Studypool's honor code & terms of service.
Studypool
4.7
Trustpilot
4.5
Sitejabber
4.4