Showing Page:
1/3
1
Вариант 11 (1 - 12)
Задача 1 Написать формулу
n
-го члена ряда
1 1 1
...
105 210 315
+ + +
1 2 3
1 1 1 1
; ; ; ... ;...
105 1 105 2 105 3 105
n
u u u u
n
= = = =
Задача 2 Исследовать на сходимость ряд
2
2
3
1
1
1
n
n
n
=

+

+

, (1) числовой ряд с положительными членами.
Рассм.
22
22
3 3 2
11
1
n
n
nn
u
n n n
→
+
==
+
, но ряд
2
1
1
n
n
=
- сходящийся эталонный ряд Дирихле, след. ряд (1)
сходится по 2–му признаку сравнения.
Задача 3 Исследовать на сходимость ряд
, (1) числовой ряд с положит. членами.
Рассм.
5
33
6
1 1 1
4
44
n
n
u arctg
n n n n
n
→
= =
, но ряд
5
6
1
1
n
n
=
- расходящийся эталонный ряд
Дирихле, след. ряд (1) расходится по 2–му признаку сравнения.
Задача 4 Исследовать на сходимость ряд
1
1
2
n
n
n
=
, (1) числовой ряд с положительными членами.
Рассм.
1
lim lim 2
n
n
nn
un
→ →
= =
, след. ряд (1) расходится по достаточному признаку расходимости.
Задача 5 Исследовать на сходимость ряд
( )
2
1
2!
n
n
n
=
+
, (1) числовой ряд с положит. членами.
Рассм.
( )
( )
( )
2
2
2
1 2 !
11
1 0 1
3 ! 3
n
n
nn
D
n n n n
→
++

= = + ⎯⎯

++

, след. ряд (1) сходится по признаку
Даламбера.
Задача 6 Исследовать на сходимость ряд
1
1
5
n
n
n
nn
n
=



, (1) числовой ряд с положительными
членами.
Рассм.
1
1
1
11
11
1 5 1 1
11
1 5 1 5 1 1 5
1
1
n
n n n n
n
n
n
n
n
n n n n n
nn
D
n n n n n
n
+
→
+
+ +
+
−−
= = = ⎯⎯
+ +

+


1 1 1
1
55
n
e
e
→
⎯⎯ =
, след. ряд (1) сходится по признаку Даламбера.
Задача 7 Исследовать на сходимость ряд
( )
2
1
3 1 ln
n
nn
=
−
, (1) числовой ряд с положительными
членами.
Рассм.
( )
( )
( )
2 2 2
ln
11
lnln
3 1 ln 3 ln 3 ln 3
2
dx
dx dx
Ix
x x x x x
= = = = +
−
,
след. несобственный интеграл
I
расходится и вместе с ним расходится ряд (1) по интегральному
признаку Коши.
Showing Page:
2/3
2
Задача 8 Исследовать знакочередующийся ряд
( )
1
2
1
2
n
n
n
n
+
=
(1) на абсолютную и условную сходимость.
а) исследуем знакочередующийся ряд (1) на абсолютную сходимость:
рассм.
1 1 1
2 2 2
n
n
nn
u
n

= =


, но ряд
1
1
2
n
n
=



- сходящаяся геометрическая прогрессия,
след. ряд
1
n
n
u
=
сходится по 1–му признаку сравнения и след. знакочередующийся ряд (1) является
абсолютно сходящимся.
Задача 9 Исследовать знакопеременный ряд
1
sin
!
n
n
n
=
, (1) на абсолютную и условную сходимость.
а) исследуем знакопеременный ряд (1) на абсолютную сходимость:
рассм.
sin
1
!!
nn
n
ub
nn
= =
и рассм. ряд
1
n
n
b
=
с положительными членами;
рассм.
( )
1
1 ! 1
01
1 ! 1 1
n
n
n
n
bn
D
b n n
+
→
= = = ⎯⎯⎯
++
, след. ряд
1
n
n
b
=
сходится по признаку Даламбера и
след. ряд
3
n
n
u
=
сходится по 1–му признаку сравнения и след. знакопеременный ряд (1) является
абсолютно сходящимся.
Задача 10 Найти область сходимости степенного ряда
( )( )
21
1
2 1 2 1 !
n
n
x
nn
=
−−
, (1).
а) рассмотрим ряд
( )
( )( )
21
11
2 1 2 1 !
n
n
nn
x
ux
nn

==
=
−−

и применим к нему признак Даламбера:
( )
( )
( )( )
( )( )
( )
21
2
1
21
2 1 2 1 !
2 1 1
2 1 2 1 ! 2 1 2 2 1
n
n
n
n
n
ux
x
nn
n
Dx
n n n n n
ux
x
+
+
−−
= = =
+ + + +
, след. по признаку
Даламбера ряд
( )
1
n
n
ux
=
сходится при
( )
( )
2
2 1 1
1, . . , ;
2 1 2 2 1
n
x т е x x
n n n
−
+ +
и след. степенной ряд (1) сходится абсолютно при
( )
;x
;
Ответ: Степенной ряд (1) сходится абсолютно при
( )
;.x
Задача 11 Найти область сходимости степенного ряда
( )
2
1
n
n
nx
=
−
, (1).
а) вычислим радиус сходимости
1
11
lim lim lim 1 1
n
n n n
n
an
R
a n n
→
+

= = = =


, след. степенной ряд (1)
сходится абсолютно при
( )
1, . . 1;1x т е x
;
б) исследуем поведение степенного ряда (1) на границе промежутка сходимости, т.е. в точках
12
1, 1xx= =
;
( ) ( ) ( )
1 1 1
n
n
un =
, (2) - знакочередующийся ряд;
( ) ( )
1 1 1
n
n
un=
, (3) - числовой ряд с положительными членами;
рассм.
( ) ( )
1 1 1
nn
n
u u n
→
= = ⎯⎯
, след. числовые ряды (2), (3) расходятся по достаточному
признаку расходимости и след. степенной ряд (1) расходится при
1x =
.
Ответ: Степенной ряд (1) сходится абсолютно при
( )
1;1 .x−
Showing Page:
3/3
3
Задача 12 Найти область сходимости степенного ряда
( )
( )
1
2
3 1 2
n
n
n
x
n
=
+
, (1).
а) рассмотрим ряд
( )
( )
11
2
3 1 2
n
n
n
nn
x
ux
n

==
=
+

и применим к нему признак Даламбера:
( )
( )
( )
( )
1
1
1
1
3
2
3 1 2
1 3 1 1 1
2 2 2
4
3 4 2 2 3 4 2 2
3
2
n
n
n
n
n
n
n
n
ux
x
n
n
n
D x x x
nn
ux
x
n
+
+
→
+
+
+
+
= = = = ⎯⎯
+ +
+
,
след. по признаку Даламбера ряд
( )
1
n
n
ux
=
сходится при
( )
1
2 1, . . 2 2; 2 2 2, 0 4, 0;4
2
x т е x x x x
и след. степенной ряд (1) сходится абсолютно при
( )
0;4x
;
б) исследуем поведение степенного ряда (1) на границе промежутка сходимости, т.е. в точках
12
0, 4:xx==
( )
( )
( )
( )
21
0
3 1 2 3 1
nn
n
n
u
nn
−−
==
+ +
, (2) - знакочередующийся ряд;
исследуем знакочередующийся ряд (2) на абсолютную сходимость:
рассм.
( )
1 1 1
0
3 1 3
n
n
u
nn
→
=
+
, но ряд
1
1
n
n
=
- расходящийся эталонный ряд Дирихле, след. ряд
( )
1
0
n
n
u
=
расходится по 2–му признаку сравнения и след. знакочередующийся ряд (2) не является абсолютно
сходящимся и след. степенной ряд (1) не может сходиться абсолютно при
0x =
;
исследуем знакочередующийся ряд (2) на условную сходимость:
( )
1
00
31
n
u
n
=
+
, след. знакочередующийся ряд (2) сходится условно по теореме Лейбница и след.
степенной ряд (1) сходится условно при
0x =
;
( )
( )
21
4
3 1 2 3 1
n
n
n
u
nn
==
+ +
, (3) - числовой ряд с положительными членами;
рассм.
( )
1 1 1
4
3 1 3
n
n
u
nn
→
=
+
, но ряд
1
1
n
n
=
- расходящийся эталонный ряд Дирихле, след. числовой ряд
(2) расходится по 2–му признаку сравнения и след. степенной ряд (1) расходится при
4x =
;
Ответ: Степенной ряд (1) сходится абсолютно при
( )
0;4x
и сходится условно при
0x =
.

Unformatted Attachment Preview

Name: Description: ...
User generated content is uploaded by users for the purposes of learning and should be used following Studypool's honor code & terms of service.
Studypool
4.7
Trustpilot
4.5
Sitejabber
4.4