Showing Page:
1/4
1
Вариант 16 (13-19)
Задача 13
2
7
()
12
fx
xx
=
−−
Ряд Тейлора имеет вид
2
(0) (0)
( ) (0) ................
1! 2!
ff
f x f x x
= + + +
2
77
(0) ;
12 0 0 12
f ==
−−
( ) ( )
( )
( )
2
2
22
22
7 1 2 7 1 2
( ) 7 1 2 12 ;
11
12 12
xx
f x x x x
x x x x
+
= = = +
( )
2
2
7 1 2 0
(0) 7 144 1008;
1
12 0 0
f
+
= = =


−−

( ) ( )
( )
2
2
22
( ) 7 2 12 2 12 1 2f x x x x x x


= + +


=
1 12103
7 2 12 1
72 72

+ =


2
7 1008 1 12103
( ) ..................
12 1! 2! 72
f x x x= + + +
Задача 14
0
1
( ) , 2
1
f x x
x
==
Пусть
22t x x t= = +
Теперь имеем
( )
1
1
( ) 1
1
f t t
t
= = +
+
( ) ( )
2
1
1 2 ...
1 ... 1
!
k
k
k
t t t
k
=
= + + = +
. LПолученный ряд сходится на
1 2 1 1 3t x x
. Далее имеем
( ) ( )
( )
1
1 2 ...
( ) 1 2
!
k
k
k
f x x
k
=
= +
Задача 15
( )
0
1
, 0,01
3!
n
n
n
=
=
Рассмотрим ряд
( )
1
1
3!
n
n
n
=
. Исследуем его по признаку Даламбера. Имеем
1
3!
n
u
n
=
. Рассмотрим
( ) ( )
1
!!
lim lim lim 0
1 ! ! 1
n
n n n
n
u
nn
u n n n
+
→ → →
= = =
+ +
<1. Поэтому по признаку Даламбера
ряд сходится абсолютно. Подсчитаем первые члены ряда
0 1 2 3 4 5
1 1 1 1 1 1
0,33; 0,33; 0,08; 0,06; 0,01; 0,003
3 3 3 2! 3 3! 3 4! 3 5!
u u u u u u= = = = = = = = = = = =
Видно, что для достижения необходимой точности достаточно первых пяти членов
Итак имеем S=
( )
4
0
1
0,33 0,33 0,08 0,06 0,01 0,03
3!
n
n
n
=
= + + =
Showing Page:
2/4
2
Задача 16
Вычислить приближённо
5
39
с точностью до
4
10
=
1/5
5
5
77
32 7 32 1 1
32 32
y
= + = + = + =
2 3 4
1 7 1 1 4 7 1 1 4 9 7 1 1 4 9 14 7
2 1 ........
5 32 2! 5 5 32 3! 5 5 5 32 4! 5 5 5 5 32

= + +



Подсчитаем первые члены ряда
0 1 2 3 4
1; 0,0438; 0,0038; 0,00050; 0,00007u u u u u= = = = =
Видно, что для удовлетворения заданной точности достаточно первых трёх членов
Итак
( )
5
39 2 1 0,0438 0,0038 0,00050 2,081= + + =
Задача 17
1/ 2
1/3
cos x
I dx
x
=
Разложим подынтегральную функцию в ряд. Итак имеем следующее разложение
( )
( )
1
2 4 2
2
1
3
1
1 ... 1 ....
2! 4! 2 !
n
n
x x x
I dx
xn


= + + +






=
( )
( )
1/ 2
1 3 5 2 1
1/3
1
... 1 ....
2! 4! 6! 2 !
n
n
x x x x
dx
xn

+ + + +



=
7
2 2 4 4 6 6
4,4 10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
ln ln ...
2 3 4 2 3 24 4 2 3 6! 6 2 3
+

Видно, что нам достаточно для нашей точности первых трёх членов
Итак имеем
0,6931 1,0987 0,2222 0,00052 0,1839I = + + =
Задача 18
2
( ) 3 ,f x x x x

= +
Ряд Фурье имеет вид
0
1
( ) cos sin
2
nn
n
a
n x n x
f x a b


=

+ +


Где
( ) ( ) ( ) ( )
0
1 1 1
( ) ; cos ; sin
nn
a f x dx a f x n x dx b f x n x dx
= = =
Вычислим эти
интегралы
( )
3 3 2 2
2
2
0
1 1 2
33
3 3 2 2 3
a x x dx



= + = + =






( )
( ) ( ) ( )
22
11
3 cos 3 cos cos
n
a x x n x dx x n x dx x n x dx


= + = +


=
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
22
1 1 1 1 1
3 sin sin 3 sin sinx d n x x d n x n x d nx n x d x
n n n n

+ =
=
=
( )
( )
( ) ( )
2
2
1 1 1
sin 2 sin 2 cosn x d x n x x dx x d n x
n n n
= =
=
=
( )
2
1
41
n
n


( )
( )
2
1
3 sin
n
b x x n x dx
= +
=
( ) ( )
2
1
3 sin sinx n x dx x n x dx


−−

+



=
Showing Page:
3/4
3
( ) ( ) ( ) ( )
2
11
3 cos cos 2 1 2 cos
n
x d n x x d n x n x x dx
nn

= =



=
( ) ( ) ( )
2 1 2
1 sin 1
nn
x d n x
n n n

=


Итак получаем ряд S(x)=
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
1
2 1 2
4 1 cos 1 sin
3
nn
n
nx nx
nn
=

+ +


Далее S(0)=
( )
2
2
1
21
41
3
n
n
n
=
+
Поскольку функция непрерывна в x=0, то имеем S(0)=f(0)=0
Задача 19
,0 2
()
2,2 4
xx
fx
xx

=
Разложим эту функцию в ряд Фурье по косинусам. Для этого продолжим её чётным образом на
интервал (-4;0). Теперь эта функция чётная её ряд Фурье имеет вид
0
1
( ) cos
24
n
n
a
nx
f x a
=

+
. Где
( ) ( )
4 2 4
0
0 0 2
2 1 1 1
( ) 2 4 16 4 2 2 2
4 2 4 4
a f x dx x dx x dx

= = + = + =


( )
4 2 4
0 0 2
21
( ) cos cos 2 cos
4 4 2 4 4
n
n x n x n x
a f x dx x dx x dx

= = +


=
( )
24
02
22
sin 2 sin
44
nn
x d x x d x
nn



+ =


=
( ) ( )
2 4 4 2 4 4
2sin cos 1 1 cos 2sin 1
2 2 2 2
nn
n n n n
n n n n n n

+ + = +




Итак имеем
( )
1
2 4 4
( ) 2 2sin 1 cos
24
n
n
n n x
Sx
n n n

=


= + +


Showing Page:
4/4
4

Unformatted Attachment Preview

Name: Description: ...
User generated content is uploaded by users for the purposes of learning and should be used following Studypool's honor code & terms of service.
Studypool
4.7
Trustpilot
4.5
Sitejabber
4.4