Showing Page:
1/2
1
Числовые и функциональные ряды
Контрольная работа (вариант 20)
Задача 1
А) Исследовать на сходимость ряд
( )
3
42
1
ln
2 3 ln
n
n
ne
n n n
=
+
++
, (1) числовой ряд с положительными членами.
Рассм.
( ) ( )
33
3
11
4 2 4 4
3
ln ln
11
2 3 ln 2 2 2
nn
n
n
n e e
n
u
n n n n n
n
→
+
= = =
++
, но ряд
11
3
1
1
n
n
=
- сходящийся эталонный ряд
Дирихле, след. ряд (1) сходится по 2–му признаку сравнения.
Б) Исследовать на сходимость ряд
2
3
1
3 2 ln
3 ln
nn
nn
n
nn
n n n
=
+ + +
+ + +
, (1) числовой ряд с положительными
членами.
Рассм.
2
3
3 2 ln 3 1 3 3
3 ln
nn
n n n
n
n n n
n
nn
u
n n n n n
→
+ + +
= =
+ + +
, но ряд
1
3
n
n
=



- сходящаяся геометрическая
прогрессия, след. ряд (1) сходится по 2 му и 1 – му признакам сравнения.
В) Исследовать на сходимость ряд
, (1) числовой ряд с положительными членами.
Рассм.
1
1
2
21
lim lim lim 1 0
2
2
1
n
n
n
n n n
n
n
u
n
n
→

+
+

= = =
+

+

, след. числовой ряд (1) расходится по
достаточному признаку расходимости.
Задача 2 Исследовать знакочередующийся ряд
( )
1
12
3 43
n
n
n
n
=
−+
+
, (1) на абсолютную и условную
сходимость.
а) исследуем знакочередующийся ряд (1) на абсолютную сходимость:
рассм.
1
2
2 1 1
3 43 3 3
n
n
nn
u
nn
n
→
+
= =
+
, но ряд
1
2
1
1
n
n
=
- расходящийся эталонный ряд Дирихле,
след. ряд
1
n
n
u
=
расходится по 1–му признаку сравнения и след. знакочередующийся ряд (1) не является
абсолютно сходящимся;
б) исследуем знакочередующийся ряд (1) на условную сходимость:
рассм.
2
0
3 43
n
n
u
n
+
=
+
, след. знакочередующийся ряд (1) сходится условно по теореме Лейбница.
Задача 3 Найти область сходимости степенного ряда
( )
( )
2
1
21
21
n
n
n
nx
n
=
+
+
, (1).
а) вычислим радиус сходимости
( )
( )
22
2
1
12
21
22
2 1 2 1 2
lim lim 4lim 4lim 4 1 4
31
2 1 2 3 2 3 1
1
2
n
n
n
n n n n
n
n
a n n n
nn
R
a n n n n
n
n
+
+

++
+
+ + +


= = = = = =


+ + + +
+
+

,
след. степенной ряд (1) сходится абсолютно при
( )
4, . . 4;4x т е x
;
Showing Page:
2/2
2
б) исследуем поведение степенного ряда (1) на границе промежутка сходимости, т.е. в точках
12
4, 4xx= =
( )
( )( )
( )
( )
2
2 1 4
21
41
2 1 1
n
n
n
n
n
n
u
nn
+−
+
= =
++
, (2) - знакочередующийся ряд;
( )
( )
( )
2
2 1 4
21
4
2 1 1
n
n
n
n
n
u
nn
+
+
==
++
, (3) - числовой ряд с положительными членами;
рассм.
( ) ( )
1
2
21
lim 4 lim 4 lim lim 2 0
1
1
1
nn
n n n n
n
n
uu
n
n
+
+
= = = =
+
+
, след. числовые ряды (2) и (3) расходятся
по достаточному признаку расходимости и след. степенной ряд (1) расходится при
4x =
.
Ответ: Степенной ряд (1) сходится абсолютно при
( )
4;4 .x−
Задача 4 Воспользовавшись стандартными разложениями, найти три ненулевых слагаемых разложения
функции
( )
( )
24cos 3
exp 2
x
fx
x
=
в ряд Маклорена.
( )
( )
2
24cos 3
24 cos 3
exp 2
x
x
f x e x
x
= = =
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2 4 2
2
3 3 3
22
2
24 1 ... ... 1 ... 1 ...
1! 2! ! 2! 4! 2 !
n
n
n
x x x
xx
x
nn


−−

= + + + + + + + + =






( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
22
2 2 3 3
23
24 1 ... ... 1 ... 1 ...
1! 2! ! 2! 4! 2 !
nn
n
x x x x
xx
nn
−−
= + + + + + + + +
;
вычислим первые члены разложения функции
( )
fx
:
( )
0
24 1 1 24;ux= =
( )
1
3 2 3
24 1 1 24 2 84 ;
2! 1! 2
x x x
u x x x
= + = =


( )
( ) ( )
22
2 2 2 2
2
32
2 3 9
24 1 1 24 3 2 129 .
4! 1! 2! 2! 24
xx
xx
u x x x x x

= + + = + + =




Unformatted Attachment Preview

Name: Description: ...
User generated content is uploaded by users for the purposes of learning and should be used following Studypool's honor code & terms of service.
Studypool
4.7
Trustpilot
4.5
Sitejabber
4.4