Showing Page:
1/3
1
Вариант 14 (1 - 12)
Задача 1 Написать формулу
n
-го члена ряда
1 1 1
...
1 2 2 3 3 4
+++
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3
1 1 1 1
; ; ; ... ;
1 1 1 2 2 1 3 3 1 1
n
u u u u
nn
= = = =
+ + + +
Задача 2 Исследовать на сходимость ряд
4
1
1
1
n
n
=
+
, (1) числовой ряд с положительными членами.
Рассм.
4 4 2
1 1 1
1
n
n
u
n n n
→
==
+
, но ряд
2
1
1
n
n
=
- сходящийся эталонный ряд Дирихле,
след. ряд (1) сходится по 2–му признаку сравнения.
Задача 3 Исследовать на сходимость ряд
, (1) числовой ряд с положительными
членами.
Рассм.
4
222
3 3 3
3
1 3 1 3 1 1
55
2
n
nn
n n n
u arctg
nnn
n n n
n
++
= =
++
+
, но ряд
4
3
1
1
n
n
=
- сходящийся эталонный
ряд Дирихле, след. ряд (1) сходится по 2–му признаку сравнения.
Задача 4 Исследовать на сходимость ряд
1
1
5
n
n
n
n
=
+
, (1) числовой ряд с положительными членами.
Рассм.
( )
1
2 5 1 1 1 1
1 1 1
5 1 1 5 1 1 5
n
n
n
n
nn
D
n n n n
→
+
+
= = + ⎯⎯
+ + + +
, след. ряд (1) сходится по
признаку Даламбера.
Задача 5 Исследовать на сходимость ряд
( )
1
!
3!
n
n
n
=
, (1) числовой ряд с положительными членами.
Рассм.
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 ! 3 !
11
01
3 3 ! ! 3 1 3 2 3 3 3 1 3 2 3
n
n
nn
n
D
n n n n n n n
→
+
+
= = = ⎯⎯
+ + + + + +
, след. ряд
(1) сходится по признаку Даламбера.
Задача 6 Исследовать на сходимость ряд
2
1
1
23
n
n
n
n
=
+



, (1) числовой ряд с положительными членами.
Рассм.
1
1
1
01
3
23
2
n
n
n
nn
n
n
n
Cu
n
n
→

+
+


= = = ⎯⎯



, след. ряд (1) сходится по радикальному признаку
Коши.
Задача 7 Исследовать на сходимость ряд
( )
2
2
1
2 ln
n
nn
=
+
, (1) числовой ряд с положительными
членами.
Рассм.
( )
( )
2 2 2
2 2 2
ln
1 1 1
0
2 ln ln ln ln ln2 ln2
2
dx
dx dx
I
x x x x x x
= = = = = +
+
, след.
несобственный интеграл
I
сходится и вместе с ним сходится ряд (1) по интегральному признаку Коши.
Задача 8 Исследовать знакочередующийся ряд
( )
( )
1
11
sin 2 1
1
2
n
nn
n
nn
+

==
=

, (1) на абсолютную и
условную сходимость.
а) исследуем знакочередующийся ряд (1) на абсолютную сходимость:
Showing Page:
2/3
2
рассм.
1
n
u
n
=
, но ряд
1
1
n
n
=
- расходящийся эталонный ряд Дирихле, след. ряд
1
n
n
u
=
расходится
по 1 му признаку сравнения и след. знакочередующийся ряд (1) не является абсолютно сходящимся;
б) исследуем знакочередующийся ряд (1) на условную сходимость:
рассм.
1
0
n
u
n
=
, след. знакочередующийся ряд (1) сходится условно по теореме Лейбница.
Задача 9 Исследовать знакопеременный ряд
2
1
cos
n
n
n
=
, (1) на абсолютную и условную сходимость.
а) исследуем знакопеременный ряд (1) на абсолютную сходимость:
рассм.
22
cos
1
n
n
u
nn
=
но ряд
2
1
1
n
n
=
- сходящийся эталонный ряд Дирихле,
след. ряд
1
n
n
u
=
сходится по 1 му признаку сравнения и след. знакопеременный ряд (1) является
абсолютно сходящимся.
Задача 10 Найти область сходимости степенного ряда
( )
1
2!
n
n
xn
n
=
+
, (1).
а) вычислим радиус сходимости
( )
( ) ( ) ( )
1
3 ! 3 3
lim lim lim lim
1
2 ! 1 1
1
n
n n n n
n
n n n n
an
R
a n n n
n
+
+ + +
= = = = =
+ + +
+
,
след. степенной ряд (1) сходится абсолютно при
( )
;x
;
Ответ: Степенной ряд (1) сходится абсолютно при
( )
;x
.
Задача 11 Найти область сходимости степенного ряда
2
1
n
n
n
x
n
=
, (1).
а) вычислим радиус сходимости
2
22
1
1 1 1 1
lim lim lim lim 1 1
n
n n n n
n
a n n n
R
a n n n n
→
+
+

= = = = =


,
след. степенной ряд (1) сходится абсолютно при
( )
1, . . 1;1x т е x
;
б) исследуем поведение степенного ряда (1) на границе промежутка сходимости, т.е. в точках
12
1, 1:xx= =
( ) ( )
1
11
n
n
n
u
n
=
, (2) - знакочередующийся ряд;
( )
1
1
n
n
u
n
=
, (3) - числовой ряд с положительными членами;
рассм.
( ) ( )
11
lim 1 lim 1 lim lim 1 1 0
nn
n n n n
n
uu
nn
→

= = = =


, след. числовые ряды (2) и (3) расходятся
по достаточному признаку расходимости и след. степенной ряд (1) расходится при
12
1, 1xx= =
.
Ответ: Степенной ряд (1) сходится абсолютно при
( )
1;1 .x−
Задача 12 Найти область сходимости степенного ряда
, (1).
а) вычислим радиус сходимости
( ) ( )
( )
2
22
2
1
22
sin
11
11
lim lim lim lim
11
11
sin
1 1 1 1
n
n n n n
n
nn
n
an
nn
R
a n n
nn
nn
+
++
++
= = = = =
++
++
+ + + +
Showing Page:
3/3
3
( )
2
2
2
11
1
1
lim 1 lim 1 1 1
1
1
1
nn
n
n
n
n
++
= = =
+
+
, след. степенной ряд (1) сходится абсолютно
при
( )
2 1, . . 1 2 1, 1 3, 1;3x т е x x x
;
б) исследуем поведение степенного ряда (1) на границе промежутка сходимости, т.е. в точках
12
1, 3:xx==
( ) ( ) ( )
22
1 sin 1 ; 3 sin ;
11
n
nn
nn
uu
nn
= =
++
рассм.
( ) ( )
3
2 2 2
2
1
1 3 sin ;
11
nn
n n n
uu
n n n
n
= = =
++
но ряд - сходящийся эталонный ряд Дирихле,
след. числовые ряды
( ) ( )
11
1 , 3
nn
nn
uu

==

сходятся по 1-му признаку сравнения и след. степенной ряд (1)
сходится абсолютно при
1
1x =
и при
2
3x =
.
Ответ: Степенной ряд (1) сходится абсолютно при
1;3 .x

Unformatted Attachment Preview

1 Вариант 14 (1 - 12) 1 1 1 + + + ... 1 2 23 3 4 1 1 1 1 u1 = ; u2 = ; u3 = ; ... un = ; 1  (1 + 1) 2  ( 2 + 1) 3  ( 3 + 1) n  ( n + 1) Задача 1 Написать формулу n -го члена ряда  Задача 2 Исследовать на сходимость ряд 1 , (1) – числовой ряд с положительными членами. n +1  4 n =1 1 1 1 Рассм. un = = 2 , но ряд 4 4 n → n +1 n n  1 n n =1 - сходящийся эталонный ряд Дирихле, 2 след. ряд (1) сходится по 2–му признаку сравнения.  Задача 3 Исследовать на сходимость ряд  n =1 3 1 n+3 arctg 2 , (1) – числовой ряд с положительными n +5 n+2 членами. Рассм. un = 3 1 n+3 1 n+3 1 n 1 arctg 2  2  2 = 4 , но ряд 3 3 n + 5 n → n n + 5 n → n n n +2 n 3   n =1 ряд Дирихле, след. ряд (1) сходится по 2–му признаку сравнения.  Задача 4 Исследовать на сходимость ряд n 4 - сходящийся эталонный 3 n +1  5 n , (1) – числовой ряд с положительными членами. n =1 Рассм. Dn = 1 n n+2 5n n 1  1   1  1  =  1 + →  1 , след. ряд (1) сходится по   1 −  ⎯⎯⎯ n → n +1 5  ( n + 1) n + 1 5  n + 1   n + 1  5 признаку Даламбера.  Задача 5 Исследовать на сходимость ряд n!  ( 3n )! , (1) – числовой ряд с положительными членами. n =1 Рассм. Dn = ( n + 1)!  ( 3n )! = n +1 1 = ⎯⎯⎯ → 0  1 , след. ряд ( 3n + 3)! n! ( 3n + 1)  ( 3n + 2 )  ( 3n + 3) ( 3n + 1)  ( 3n + 2 )  3 n → (1) сходится по признаку Даламбера. n2  n +1  Задача 6 Исследовать на сходимость ряд    , (1) – числовой ряд с положительными членами. n =1  2n − 3  n n  1+ 1  n + 1   n  ⎯⎯⎯ Рассм. Cn = n un =  → 0  1 , след. ряд (1) сходится по радикальному признаку  = n → 3   2 n − 3   2− n   Коши.  Задача 7 Исследовать на сходимость ряд 1  ( n + 2 )  ln n=2 2 n , (1) – числовой ряд с положительными членами. d ( ln x )  1   dx dx 1  1  Рассм. I =   = = −  + , след.  = − 0 − = 2 2 2   ln 2  ln 2  ln x  2  2 ( x + 2 )  ln x 2 x ln x 2 ln x    несобственный интеграл I сходится и вместе с ним сходится ряд (1) по интегральному признаку Коши.  Задача 8 Исследовать знакочередующийся ряд  n =1 sin ( 2n − 1) n  2 = ( −1)  n n =1  условную сходимость. а) исследуем знакочередующийся ряд (1) на абсолютную сходимость: n +1 , (1) на абсолютную и 2 рассм. un = 1 , но ряд n   1  n - расходящийся эталонный ряд Дирихле, след. ряд  u n =1 n =1 n расходится по 1 – му признаку сравнения и след. знакочередующийся ряд (1) не является абсолютно сходящимся; б) исследуем знакочередующийся ряд (1) на условную сходимость: рассм. un = 1 n 0 , след. знакочередующийся ряд (1) сходится условно по теореме Лейбница.  cos n , (1) на абсолютную и условную сходимость. 2 n =1 n  Задача 9 Исследовать знакопеременный ряд а) исследуем знакопеременный ряд (1) на абсолютную сходимость: рассм. un = cos n n 2  1 но ряд n2  1 n n =1 2 - сходящийся эталонный ряд Дирихле,  след. ряд u n =1 n сходится по 1 – му признаку сравнения и след. знакопеременный ряд (1) является абсолютно сходящимся.  xnn Задача 10 Найти область сходимости степенного ряда  , (1). n =1 ( n + 2 )! ( n + 3)! = lim n ( n + 3) = lim ( n + 3) =  , an n = lim  n → a n → ( n + 2 )! n → n → n +1 n +1 1+ 1 n +1 n след. степенной ряд (1) сходится абсолютно при x  ( − ;  ) ; а) вычислим радиус сходимости R = lim Ответ: Степенной ряд (1) сходится абсолютно при x  ( − ;  ) . n −1 n x , (1). n=2 n  Задача 11 Найти область сходимости степенного ряда а) вычислим радиус сходимости R = lim n →  an n −1 n +1 n2 − 1 1  = lim  = lim 2 = lim 1 − 2  = 1 , n → n n → an +1 n → n n  n  след. степенной ряд (1) сходится абсолютно при x  1, т. е. x  ( −1;1) ; б) исследуем поведение степенного ряда (1) на границе промежутка сходимости, т.е. в точках x1 = −1, x2 = 1: n −1 n un ( −1) = ( −1) , (2) - знакочередующийся ряд; n n −1 un (1) = , (3) - числовой ряд с положительными членами; n n −1  1 = lim 1 −  = 1  0 , след. числовые ряды (2) и (3) расходятся рассм. lim un ( −1) = lim un (1) = lim n → n → n → n n →  n по достаточному признаку расходимости и след. степенной ряд (1) расходится при x1 = −1, x2 = 1 . Ответ: Степенной ряд (1) сходится абсолютно при x  ( −1;1) .  Задача 12 Найти область сходимости степенного ряда    sin n n =1  2 n  n  ( x − 2 ) , (1). +1 а) вычислим радиус сходимости a R = lim n = lim n → a n → n +1 sin sin n n +1 n +1 2 ( n + 1) 2 +1 = lim n → n n +1 n +1 2 ( n + 1) 2 +1 n ( n + 1) + 1 = lim  = n → n +1 n2 + 1 2 3 ( ) 2 1+ 1 + 1 2 1 n n = 1  1 = 1 , след. степенной ряд (1) сходится абсолютно = lim 1 −  lim n → n → 1 n +1 1+ n2 при x − 2  1, т.е. − 1  x − 2  1, 1  x  3, x  (1;3) ; б) исследуем поведение степенного ряда (1) на границе промежутка сходимости, т.е. в точках n n n  ( −1) ; un ( 3) = sin 2 ; n +1 n +1 n n n 1  2  2 = 3 ; но ряд - сходящийся эталонный ряд Дирихле, рассм. un (1) = un ( 3) = sin 2 n +1 n +1 n n 2 x1 = 1, x2 = 3: un (1) = sin  след. числовые ряды 2   u (1) ,  u ( 3) n =1 n n =1 n сходятся по 1-му признаку сравнения и след. степенной ряд (1) сходится абсолютно при x1 = 1 и при x2 = 3 . Ответ: Степенной ряд (1) сходится абсолютно при x  1;3. Name: Description: ...
User generated content is uploaded by users for the purposes of learning and should be used following Studypool's honor code & terms of service.
Studypool
4.7
Trustpilot
4.5
Sitejabber
4.4