Showing Page:
1/4
1
Вариант 20 (13-19)
Задача 13
( ) sin 4f x x x=
Ряд Тейлора имеет вид
2
(0) (0)
( ) (0) ................
1! 2!
ff
f x f x x
= + + +
(0) 0 sin 4 0 0f = =
( )
( ) sin4 4 cos4 ; (0) sin4 0 4 cos 4 0 0 0f x x x x f

= + = + =
( )
( ) 4 cos4 4 cos4 16sin4 ; (0) 4 cos4 0 4 cos4 0 16sin 4 0 0 8f x x x x x f
= + = + =
( ) 16 sin 4 16 sin 4 16 sin 4 64 cos4 ;f x x x x x x

=
( ) 192 cos4 64 cos4 256sin4 ;f x x x x x
= +
(0) 192 cos4 0 64 cos4 0 256sin4 0 0 256;f
= + =
Итак, имеем
24
8 256
( ) ..........................
2! 4!
f x x x= +
Задача 14
0
1
( ) , 2
3
f x x
x
==
+
Пусть
22t x x t= = +
. Теперь имеем
( )
1
1
11
( ) 5 1
5 5 5
t
f t t
t

= = + = +

+

Далее имеем
( ) ( ) ( )
2
1
1 1 1 ... 1 1
12
( ) 1 ... 1
5 5 2! 5 !
k
n
k
tt
f t x
k
=

+

= + = +





, или
( ) ( ) ( )
( )
2
1
1 1 1 ... 1 1
1 2 2 2
( ) 1 ... 1 2
5 5 2! 5 !
k
n
k
xx
f x x
k
=

+
−−

= + = +





.
Полученный ряд сходится при
1 2 1tx
Задача 15
( )
1
1
, 0,001
3!
n
n
n
n
=
=
Рассмотрим ряд
( )
1
1
3!
n
n
n
n
=
. Исследуем его по признаку Даламбера. Имеем
1
3!
n
n
u
n
=
. Рассмотрим
( ) ( )
1
1
! 3 !
lim lim lim 0
3 1 ! ! 1
n
n
n
n n n
n
u
nn
u n n n
+
+
→ → →
= = =
+ +
<1. Поэтому по признаку
Даламбера ряд сходится абсолютно. Подсчитаем первые члены ряда
1 2 3 4
4
1 1 1
0,3333; 0,0278; 0,0061; 0,0005
9 2! 27 6 3 4!
u u u u= = = = = = =
Видим, что для нашей точности достаточно первых трёх членов
Тогда искомая сумма равна S=
( )
3
1
1
0,3333 0,0278 0,0061 0,3116
3!
n
n
n
n
=
= + =
.
Showing Page:
2/4
2
Задача 16
Вычислить приближённо
4
17
с точностью до
4
10
=
1/4
44
4
11
17 16 1 16 1 2 1
16 16
y
= = + = + = +
=
23
0,00001
1 1 1 1 3 1 1 1 3 7 1
2 1 ..
4 16 2! 4 4 16 3! 4 4 4 16


+ + +




Видно, что достаточно первых трёх членов
Итак, имеем
4
17 2 1 0,0156 0,0003 2,0306= + =
Вариант 17
( )
1/3
2/3 2/3
5
3
5
00
1
1
1
I dx x dx
x
= = +
+

Разложим подынтегральную функцию в ряд. Итак, имеем
следующее разложение
2/3
10
5
0
1 1 2
1 ......
3 3 3 2!
x
I x dx

= + +


=
6 11
2 1 1 1 2 2
3 3 6 3 9 2! 3
+ +
...=0,6666+
5
7,6 10
C учётом нашей точности можем написать
I=0,6666.
Задача 18
( ) 4 1, 1 1f x x x x= +
. Перепишем функцию в виде
3 1,0 1
()
5 1, 1 0
xx
fx
xx
+
=
+
Ряд Фурье имеет вид
0
1
( ) cos sin
2 1 1
nn
n
a
n x n x
f x a b

=

+ +


Где
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
0
1 1 1
1 1 1
( ) ; cos ; sin
1 1 1
nn
a f x dx a f x n x dx b f x n x dx

= = =
Вычислим эти
интегралы
( ) ( )
1 0 1
0
1 1 0
13
( ) 5 1 3 1 5 1 1 3
22
a f x dx x dx x dx
−−


= = + + + = + + =




( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 0 1
1 1 0
cos 5 1 cos 3 1 cos
n
a f x n x dx x n x dx x n x dx
−−

= = + + +


=
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
01
22
10
1 1 1
5 1 sin 3 1 sin 5 1 1 3 1 1
nn
x d n x x d n x
n n n



+ + + = +




=
=
( )
( )
( )
( )
1
2 2 2 2
12
2 2 1 1 1
nn
nn

+
= +

( ) ( )
1
1
sin
n
b f x n x dx
=
=
( ) ( ) ( ) ( )
01
10
5 1 sin 3 1 sinx n x dx x n x dx


+ + +



=
( ) ( ) ( )
( )
11
6 1 2 2 1 8 1 2
n n n
nn


=


Итак, получаем ряд S(x)=
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
1
22
1
21
3 1 1 cos 8 1 2 sin
nn
n
nx nx
nn


+
=
+ + +

Showing Page:
3/4
3
Далее S(0)=
( )
( )
1
22
1
2
3 1 1
n
n
n
+
=
+ +
Поскольку функция непрерывна в x=0, то имеем S(0)=f(0)=1
Задача 19
0,0 / 2
()
2 2 , / 2
x
fx
xx

=
+
Разложим эту функцию в ряд Фурье по косинусам. Для этого продолжим её чётным образом на
интервал (-
;0). Теперь эта функция чётная её ряд Фурье имеет вид
0
1
( ) cos
2
n
n
a
nx
f x a
=

+
Где
( )
/2
22
0
0 0 /2
2 2 2 3
( ) 0 2 2 2 2
2 8 2
a f x dx dx x dx




= = + + = + = +






( ) ( ) ( )
/2
0 0 /2
22
( ) cos 0 cos 2 2 cos
n
nx
a f x dx nx dx x nx dx


= = + +


=
=
( ) ( ) ( )
22
/2
2 2 2
2 2 sin sin 1 cos
22
n
nn
x d nx
n n n n
+ = +
Итак имеем
( )
22
1
3 2 2
( ) 2 sin 1 cos cos
2 2 2
n
n
nn
S x nx
n n n
=

= + + +


График суммы- это периодическая функция с периодом
2
Showing Page:
4/4
4

Unformatted Attachment Preview

1 Вариант 20 (13-19) Задача 13 f ( x) = x  sin 4 x Ряд Тейлора имеет вид f ( x) = f (0) + f (0) f (0) 2 x+  x + ................ 1! 2! f (0) = 0  sin 4  0 = 0 f ( x) = sin 4 x + 4  cos 4 x  x; f (0) = sin 4  0 + 4  cos ( 4  0 )  0 = 0 f ( x) = 4  cos 4 x + 4  cos 4 x −16sin 4 x  x; f (0) = 4  cos 4  0 + 4  cos 4  0 −16sin ( 4  0)  0 = 8 f ( x) = −16  sin 4 x − 16  sin 4 x − 16  sin 4 x − 64  cos 4 x  x; f (0) = −16  sin 4  0 −16  sin 4  0 −16  sin 4  0 − 64  cos ( 4  0 )  0 = 0 f ( x) = −192  cos 4 x − 64  cos 4 x + 256sin 4 x  x; f (0) = −192  cos 4  0 − 64  cos 4  0 + 256sin 4  0  0 = −256; 8 256 4 Итак, имеем f ( x) =  x 2 −  x + .......................... 2! 4! Задача 14 1 f ( x) = , x0 = 2 x+3 −1 1 1  t −1 = ( t + 5 ) =  1 +  Пусть t = x − 2  x = t + 2 . Теперь имеем f (t ) = t +5 5  5 2  ( −1)  ( −1 − 1) ... ( −1 − k + 1)  x k  , или 1  t 2 t Далее имеем f (t ) =  1 − −    + ... = 1 +   5  5 2!  5  k! n =1  2  ( −1)  ( −1 − 1) ... ( −1 − k + 1)  x − 2 k  . 1  x−2 2  x−2 f ( x) =  1 − −  + ... = 1 + ( )   5  5 2!  5  k! n =1  Полученный ряд сходится при t  1  x − 2  1 Задача 15 ( −1)  n , = 0, 001 n  n =1 3  n! Рассмотрим ряд  3 n =1 un = ( −1) n n  n! . Исследуем его по признаку Даламбера. Имеем un +1 n ! 3n n! 1 lim = lim = lim = 0 <1. Поэтому по признаку . Рассмотрим n +1 n n → n → n → un 3  ( n + 1) ! n ! ( n + 1) 3  n! Даламбера ряд сходится абсолютно. Подсчитаем первые члены ряда 1 1 1 u1 = −0,3333; u2 = = 0, 0278; u3 = − = −0, 0061; u4 = 4 = 0, 0005 9  2! 27  6 3  4! Видим, что для нашей точности достаточно первых трёх членов Тогда искомая сумма равна 3 S=  n =1 ( −1) n 3n  n ! = −0,3333 + 0, 0278 − 0, 0061 = −0,3116 . 2 Задача 16 Вычислить приближённо 4 17 с точностью до  = 10 −4   2 3 1/ 4   1 1 1 1 3 1 1 1 3 7 1 1 1       y = 4 17 = 4 16 + 1 = 4 16  1 +  = 2 1 +  = 2 1 +  −      +       + ..  16   16   4 16 2! 4 4  16  3! 4 4 4  16     0,00001 Видно, что достаточно первых трёх членов Итак, имеем 4 17 = 2 1 + 0,0156 − 0,0003 = 2,0306 Вариант 17 2/3  I= 0 2/3 1 3 1 + x5 dx =  (1 + x ) −1/ 3 dx Разложим подынтегральную функцию в ряд. Итак, имеем 5 0 2/ 3 следующее разложение I =  0 6  1 5 1 2 x10  + ......   dx 1 − x +   3 3 2!  3  11 2 1 1 1 2 2 −    +    + ...=0,6666+ 7, 6 10−5 C учётом нашей точности можем написать 3 3 6  3  9  2!  3  I=0,6666. = Задача 18 f ( x) = x − 4 x + 1, −1  x  1 . Перепишем функцию в виде −3x + 1, 0  x  1 f ( x) =  −5 x + 1, −1  x  0 Ряд Фурье имеет вид a0    n x  n x  f ( x) +   an  cos + bn  sin  2 n =1  1 1  1 1 1 1 1 1 Где a0 =   f ( x)  dx; an =   f ( x )  cos (  n  x ) dx; bn =   f ( x )  sin (  n  x ) dx Вычислим эти 1 −1 1 −1 1 −1 1 0   1 3  интегралы a0 =  f ( x)  dx =   ( −5x + 1)  dx +  ( −3x + 1)  dx  = 5  + 1 − + 1 = 3 2  −1 0  −1   2 1 1 0  an =  f ( x )  cos (  n  x ) dx =   ( −5x + 1) cos (  n  x ) dx +  ( −3x + 1)  cos (  n  x ) dx  = −1 0  −1  0 1  1  1 1 n n = ( −5x + 1)  d sin (  n  x ) +  ( −3x + 1)  d sin (  n  x ) = 2 2  5 1 − ( −1) + 3 ( −1) − 1  =  n 0   n −1   n 1 ( ( ) ( ) ( ) 1 2 n n +1  2 − 2  ( −1) = 2 2  1 + ( −1) 2  n  n 1 1 0  bn =  f ( x )  sin ( n  x ) dx =   ( −5 x + 1)  sin ( n  x ) dx +  ( −3x + 1)  sin ( n  x ) dx  = −1 0  −1  1  1 n n n −6 ( −1) − 2 − 2  ( −1)  =  −8 ( −1) − 2    n  n  2 1 n +1 n  −8 ( −1) − 2  sin ( nx ) Итак, получаем ряд S(x)= 3 +  2 2  1 + ( −1)  cos ( nx ) +  n n =1   n = 2 ( ) ( ) ( ) ) 3  ( ) 2 n +1  1 + ( −1) 2 n =1   n Поскольку функция непрерывна в x=0, то имеем S(0)=f(0)=1 Далее S(0)= 3 +  2 Задача 19 0, 0  x   / 2 f ( x) =  −2 x + 2 ,  / 2  x   Разложим эту функцию в ряд Фурье по косинусам. Для этого продолжим её чётным образом на интервал (-  ;0). Теперь эта функция чётная её ряд Фурье имеет вид a0   n x f ( x) +  an  cos 2 n =1    2 2 2  3 − 2 x + 2   dx = − 2  − +2 ( )    +  = −    0  2 8 2   0  /2      /2   2  n x 2 an =   f ( x)  cos  dx =   0  cos ( nx )  dx +  ( −2 x + 2 )  cos ( nx )  dx  =  0   0  /2   2  n 2 2 n n   ( −2 x + 2 ) d sin ( nx ) = −  sin − 2  ( −1) + 2  cos =   n  /2 n 2 n n 2 Где a0 = 2    f ( x)  dx = 2    /2  0  dx +  −3 n 2 2 n  n   + 2 +   −  sin − 2  ( −1) + 2  cos   cos nx 2 n 2 n n 2  n =1  График суммы- это периодическая функция с периодом 2 Итак имеем S ( x) = 4 Name: Description: ...
User generated content is uploaded by users for the purposes of learning and should be used following Studypool's honor code & terms of service.
Studypool
4.7
Trustpilot
4.5
Sitejabber
4.4