Showing Page:
1/5
Вар.17
Задача 1: Найти область определения функции
5
1
22
+
=
yx
z
. Нарисовать область на
координатной плоскости.
Область определения функции
( )
505:
2222
++ yxyxzD
, т.е. границей области
будет окружность
5
22
=+ yx
. Область определения данной функции состоит из внешних
точек окружности, не включая точек на самой окружности.
Задача 2: Найти частные производные и полный дифференциал
( )
1ln = xyz
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
dy
yxy
x
dx
xyx
y
dz
yxy
x
xyy
x
y
z
xyx
y
xyx
y
x
z
dy
y
z
dx
x
z
dz
+
=
=
=
=
=
+
=
22
212
212
Задача 3: Вычислить значения частных производных
)(),(),(
000
MfMfMf
zyx
функции
);;( zyxf
в точке
( )
222
ln);;( zxyxzyxf ++=
34
3
)3;2;5(;);;(
5
4
)3;2;5(;
2
);;(
34
5
5
1
)3;2;5(;
1
);;(
22
2
22
2
=
+
=
=
+
=
=
+
+
=
zz
yy
xx
f
zx
z
zyxf
f
yx
y
zyxf
f
zx
x
yx
zyxf
Задача 4: Вычислить значение производной сложной функции
3
2
++= yxu
, где
2
,ln tytx ==
при
1
0
=t
tt
y
y
u
x
x
u
dt
du
+
=
32
1
2
++
=
yx
x
u
;
32
2
2
++
=
yx
y
y
u
ty
t
x
t
t
2
1
=
=
Showing Page:
2/5
+
++
= yt
t
yx
dt
du
4
1
32
1
2
При
1
0
=t
1;01ln === yx
4
5
)41(
4
1
1
=+=
dt
du
Задача 5: Вычислить значения частных производных функции
);( yxz
, заданной неявно, в
заданной точке
)1;1;0(
0
M
22
222
=++ xzzyx
или
022);;(
222
=++= xzzyxzyxF
z
x
F
F
x
z
=
;
xzF
yF
zxF
z
y
x
22
2
22
=
=
=
xz
y
xz
y
y
z
xz
zx
x
z
=
=
=
=
22
2
1
22
22
В точке
)1;1;0(
0
M
:
( )
( )
11;1;0
11;1;0
=
=
y
z
x
z
Задача 6: Найти градиент функции
( )
2
ln yxyxz +=
и производную по направлению
)4;3(l
в
точке
)0;(
0
eM
2
1
yxyx
y
x
z
+
+
=
;
2
2
yxyx
yx
y
z
+
=
;
( )
( )
el
z
yx
yxy
ba
b
y
z
a
x
z
l
lgradz
l
z
yxyx
yx
yxyx
y
y
z
x
z
gradz
M
15
4
235
)2(4)1(3;
2
;
1
;
0
22
22
22
=
++
=
+
+
==
+
+
+
=
=
Задача 7: Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности
322:
222
=+++ xzxyzyxS
в точке
)1;2;1(
0
M
Поверхность задана неявно
0322);;(
222
=+++= xzxyzyxzyxF
zyxF
x
++=
4
;
7
0
=
M
x
F
;2 xyF
y
+=
3
0
=
M
y
F
xzF
z
+=
4
;
5
0
=
M
z
F
Уравнение касательной плоскости:
0)()()(
000
0
0
0
=
+
+
zzFyyFxxF
M
M
M
zyx
( ) ( ) ( )
065370152317 =+=+ zyxzyx
Уравнение нормали:
5
1
3
2
7
1
)()()(
0
0
0
000
=
=
=
=
zyx
F
zz
F
yy
F
xx
M
M
M
z
y
x
Задача 8: Найти вторые частные производные функции
)54ln(
32
yxz =
. Убедиться в том,
что
yxxy
zz
=
Showing Page:
3/5
32
54
8
yx
x
z
x
=
;
32
2
54
15
yx
y
z
y
=
( )
( )
( )
( )
2
32
32
2
32
232
54
548
54
8548
yx
yx
yx
xyx
z
xx
+
=
=
( )
2
32
2
54
120
yx
xy
z
xy
=
( )
( )
( )
( )
2
32
32
2
32
442
54
5815
54
1510815
yx
yxy
yx
yyyx
z
yy
+
=
+
=
( )
2
32
2
54
120
yx
xy
z
yx
=
Значит
=
xy
z
( )
2
32
2
54
120
yx
xy
z
yx
=
Задача 9: Проверить, удовлетворяет ли функция
)12ln(
22
+++= xyxu
уравнению:
0
2
2
2
2
=
+
y
u
x
u
12
22
22
+++
+
=
xyx
x
x
u
;
12
2
22
+++
=
xyx
y
y
u
( ) ( )
2
22
22
2
22
222
2
2
12
))1((2
12
))1(212(2
+++
+
=
+++
++++
=
xyx
xy
xyx
xxyx
x
u
( ) ( )
2
22
22
2
22
222
2
2
12
))1((2
12
)212(2
+++
+
=
+++
+++
=
xyx
yx
xyx
yxyx
y
u
Подставляем полученные значения производных в исходное уравнение:
( ) ( )
00
12
))1((2
12
))1((2
2
22
22
2
22
22
==
+++
+
+
+++
+
xyx
yx
xyx
xy
Следовательно, функция
)12ln(
22
+++= xyxu
удовлетворяет данному уравнению.
Задача 10: Исследовать функцию на экстремум
2352
22
+= yxxyz
xyz
x
102 =
;
yxz
y
62 =
=
=
=
=
0
0
062
0102
y
x
yx
xy
т.
)0;0(
0
M
- стационарная точка
10=
xx
z
2=
xy
z
6=
yy
z
( )
056460
2
==
=
xyyyxx
zzz
и
=
010
xx
z
т.
)0;0(
0
M
- точка максимума
Задача 11: Найти наибольшее и наименьшее значения функции
2
2
+= xyxz
в области
D
,
ограниченной заданными линиями
44;0
2
== xyy
Showing Page:
4/5
1)
=
=
==
=+=
0
0
0
02
y
x
xz
yxz
y
x
т.
)0;0(
0
M
- стационарная точка
2=
xx
z
;
1=
xy
z
;
0=
yy
z
( )
=
= 01
2
xyyyxx
zzz
в т.
)0;0(
0
M
- нет экстремума
2) Исследуем значения функции на границах области
D
:
а) сторона АС:
20
2
== xzy
===
002 xxz
т.
)0;0(
0
M
- стационарная точка на
стороне АС
2)0;0( =z
В т.
)0;1(С
:
1)0;1( =z
, В т.
)0;1(А
:
1)0;1( =z
,
в) сторона АВС:
24444
232
+== xxxzxy
===+=
2
1
;
3
2
04212
21
2
xxxxz
на АВС стационарные
точки
)
9
20
;
3
2
(
2
M
:
27
2
9
20
;
3
2
=
z
и
)3;
2
1
(
3
M
:
4
13
)3;
2
1
( =z
В т.
)4;0( В
:
2)4;0( =z
,
Сравнивая все полученные значения, в которых могут достигаться наибольшее и наименьшее
значения, видим, что:
=
наиб
z
27
2
9
20
;
3
2
=
z
;
=
наим
z
4
13
)3;
2
1
( =z
Задача 12: Найти условный экстремум функции
yxz = 3
при
1124
22
=+ yx
01124);(
22
=+= yxyx
( )
yxyxgrad 4;8);( =
не обращается в нуль ни в одной точке эллипса
1124
22
=+ yx
Составим функцию Лагранжа:
);();();;( yxyxzzyxL

+=
)1124(3);;(
22
++= yxyxzyxL
x
x
L
83+=
;
y
y
L
41+=
=+
=+
=+
1124
041
083
22
yx
y
x
Система имеет 2 решения:
1)
4
1
;1;
2
3
===
yx
, т.е. т.
)1;
2
3
(
1
M
2)
4
1
;1;
2
3
===
yx
, т.е. т.
)1;
2
3
(
2
M
Выясним наличие условного экстремума двумя способами:
1)
( )
;240;4;8
222
2
2
2
2
2
dydxLd
yx
L
y
L
x
L
+==
=
=
Showing Page:
5/5
При
4
1
=
0
2
Ld
ф-ция имеет условный максимум в т.
)1;
2
3
(
1
M
и
2
11
)1;
2
3
(
max
=z
;
При
4
1
=
0
2
Ld
ф-ция имеет условный минимум в т.
)1;
2
3
(
2
M
и
2
11
)1;
2
3
(
min
=z
;
2) Рассмотрим т.
при
4
1
=
. Имеем
01124);(
22
=+= yxyx
x
x
8=
;
12)1;
2
3
( =
x
y
y
4=
;
4)1;
2
3
( =
y
При
4
1
=
0;1;2 =
=
=
xyyyxx
LLL
.
Значит:
==
=
= 019632144
104
0212
4120
)1;
2
3
()1;
2
3
()1;
2
3
(
)1;
2
3
()1;
2
3
()1;
2
3
(
)1;
2
3
()1;
2
3
(0
yyxyy
xyxxx
yx
LL
LL
т.
)1;
2
3
(
1
M
- точка условного максимума
Рассмотрим т.
)1;
2
3
(
2
M
при
4
1
=
. Имеем
01124);(
22
=+= yxyx
x
x
8=
;
12)1;
2
3
(- =
x
y
y
4=
;
4)1;
2
3
( =
y
При
4
1
=
0;1;2 =
=
=
xyyyxx
LLL
.
Значит:
=+=
=
= 019632144
104
0212
4120
)1;
2
3
()1;
2
3
()1;
2
3
(
)1;
2
3
()1;
2
3
()1;
2
3
(
)1;
2
3
()1;
2
3
(0
yyxyy
xyxxx
yx
LL
LL
т.
)1;
2
3
(
2
M
- точка условного минимума

Unformatted Attachment Preview

Name: Description: ...
User generated content is uploaded by users for the purposes of learning and should be used following Studypool's honor code & terms of service.
Studypool
4.7
Trustpilot
4.5
Sitejabber
4.4